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0.999999・・・・・・・

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[0] 煉獄 2004/06/21 13:10

なぜ「1=0.999999・・・・・・・」なのかわかりません。
どこかに「1/3=0.333333・・・・」という式の両辺を3倍すると「1=0.999999・・・・・・・」
になるとありましたが、そもそもなぜ「1/3=0.333333・・・・」になるのかを考えててみたのですが、
1/3計算すると上手く割り切れない部分が存在するから「1/3=0.333333・・・・」はずっと3が続くのですよね?
なら上手く割り切れない部分はどこに行ってしまったのでしょうか?
「1/3=0.333333・・・・」の右辺に上手く割り切れなかった部分を足さないと等式が成り立たないと思うのですが・・・・・

75件のコメント 26番から75番を表示中

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[26] 落ち武者 2004/06/25 04:43

>>25
ということ。
そもそも、0.999…は、操作っちゅうか、極限を表すもので、
それを数列で表すと、{0.9,0.99,0.999,…}となる。
で、この無限数列の収束する値を、この無限数列が表す数"ということにした"。
1={1,1,1,1,1,…}={0.9,0.99,0.999,…}
近づき方が違っても、同じ値に収束する数列は同値とみなす。

ので、0.999999…=1

※「無限数列」…本当はQ上のコーシー列。
 「同値とみなす」…つか、むしろ、そうなる関係を定義した。

[27] 煉獄 2004/06/26 03:31

まず(1/10)^nの性質を見ましょう。

n=1の時、(1/10)^1=1/10、n=2のとき、(1/10)^2=1/100

n=3の時、(1/10)^3=1/1000

nが1→2→3と変化すると、(1/10)^nの値は「1/10」→「1/100」→「1/1000」と変化しますね。
                                          
すなわち、「(1/10)^n−1」の値に、1/10をかければ「(1/10)^n」の値がでるわけです。

(1/10)^nがn=αの時に、(1/10)^α=0になると仮定する。

ではn=α−1の時を考えてみます。

ここではA・B=0の時、A=0または、B=0または、A=B=0である性質を利用します。

(1/10)^α−1×1/10=(1/10)^α=0

(1/10)^α−1×1/10=0について考えてみると、1/10≠0なので(1/10)^α−1=0

ということがわかります。n=α−2の時はどうでしょう。

(1/10)^α−2×1/10=(1/10)^α−1=0。(1/10)^α−2×1/10について考えてみると、

1/10≠0なので、(1/10)^α−2=0ということがわかります。こうやって考えてみると、

(1/10)^α−3の時も、(1/10)^α−4の時も(1/10)^α−3=(1/10)^α−4=0

ですよね?つまり、(1/10)^nで「(1/10)^α=0」を満たすαという値が存在するならば、

(1/10)^nはnがどんな数であっても0になってしまうのです。

しかしそんなことはおかしいですね。だから(1/10)^n=0はありえないと思います。

[28] watasieroiyo. 2004/06/26 04:02

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[29] Gilbert 2004/06/26 07:40

>>27
定数aについて、
∞ + a = ∞

[30] 煉獄 2004/06/26 07:55

(1/10)^∞+1÷(1/10)^∞を計算してみて下さい。>Gilbertさん

もし、(1/10)^∞=0というなら、(1/10)^∞も0.1や0.01の値を通って0になるはずなのです。

これを考えればわかりますよ。

[31] Gilbert 2004/06/26 09:04

>>30
その式は∞になりますが、(1/10)^∞も0.1や0.01の値を通って0になるはずだからなんなのか説明を。

[32] 煉獄 2004/06/26 09:18

(1/10)^∞が0.1や0.01の値を通るなら、(1/10)^∞=0にはならないといいたいのです。

なぜそうなるかは27番の記事にある、A・B=0の時、A=0または、B=0または、A=B=0であることから。

[33] Gilbert 2004/06/26 10:38

∞は普通の実数とは異なるのにもかかわらず(実数a,xについて、常にa^x>0)、普通の実数と同列に扱っているところに>>27 の問題がある。
そこで∞を表に出さないように、"∞"を"lim[n→∞]n"と改めます。

lim[n→∞](1/10)^n = 0
これは良いでしょう。
この式の意味は当然極限を取るという意味です。
よって、0.00...=0であるから(上で皆さんが仰るように"..."は無限数列の極限を取れという意味)、
1-0.00...=1 なのであります。

[34] ハゲカス 2004/06/27 03:14

0.9999999999.......
⇔Σ[n=1→∞](0.1)^n×9
⇔9×(0.1/0.9)
⇔1

でもまぁ1っていうより1に限りなく近づくが
1以下って感じか。

[35] 左院個左院単字ェン戸 2004/06/27 04:08

こういうのは循環小数ですね。

x=0.99999・・・(式1)とすると、10x=9.9999・・・(式2)となる。
式1-式2をすると、
9x=9→x=1となる。

すなわち1=0.99999・・・が成り立つ。

[36] 左院個左院単字ェン戸 2004/06/27 04:09

訂正「式1-式2」→「(式2)-(式1)」

[37] 国家樹立を願う者 2004/06/27 11:46

>>14
表記は出来ますが1/5などは10進法の方がすっきりするわけですよね。
なにも12進法なら何でもすっきりしますといったわけではありませんよ。
1/3を表記するのに10進法だと無限桁を要するが12進法だと0.4と表記できる。
1/5は12進法だと無限桁を要するけど10進法では0.2と表記できる。
n進法にはそれぞれ利点、欠点があるといったまでです。。

[38] zakobi 2004/06/27 15:10

>>37
ああ、言いたいことがわかりました。
「この場合においては」を付け加えればよいのですね。
あの文だけみると、12進法にはそういった問題が生じない
ということがいいたいのだろうかと思ってしまったので。

∞というのは、普通の数ではありません。
有限の数を捉えるときの感覚と同じ感覚で捉えようとしてはだめ。
それは、虚数を考えるときに、今までの数直線上に表現することが
できないことと似ているかな。

[39] Katz 2004/06/28 08:46

久し振りに数学板に来てみたら、懐かしい(?)タイトルのスレが…(^_^;)

>>27
> だから(1/10)^n=0はありえないと思います。

この結論は正しい。しかし 0.000...=0 も正しい。
>>33 などで既に指摘されていますが「∞は実数ではない」が正解です。

>>34
> でもまぁ1っていうより1に限りなく近づくが
> 1以下って感じか。

「限りなく」って修飾語がミソ。
1にならないと考える以上は「近付き方に限りがある」のです。
従って「限りなく近付く」ならばちょうど1になります。
ここで「『最後には』ちょうど1になる」と言わない所もミソ。
無限数列を考える以上は「最後」は存在しません。

[40] 走行距離1Chm 2004/06/28 13:52

12進法より3進法の方がわかりやすい気がします。

常識A━━━━━━━━1(10)=1(3)
常識B━━━━━━━━3(10)=10(3)
常識C━0.333・・・(10)=0.1(3)

と、常識を書いておいて、

↓3進法          ↓10進法

1(3)÷10(3)=0.1(3) 1(10)÷3(10)=0.333・・・(10)
0.1(3)×10(3)=1(3) 0.333・・・(10)×3(10)=0.999・・・(10)

よって1(3)=0.999・・・(10)
常識Aより
   1(10)=0.999・・・(10)
です。
疲れた

[41] the145 2004/07/03 17:41

ってか、>>0 の方法が一番わかりやすい。
それ以上何故疑問に思う必要が・・・?

[42] 走行距離1Chm 2004/07/11 12:49

>>41 禿同。sage

[43] doze off 2004/07/11 15:31

>>40
いや、常識Cを疑ってるんだって。ちゃんと読めって。
その上で、常識Cを肯定するにはどうすればいいのかを考えているのが
全体の流れだって。

[44] soultz 2004/07/19 15:00

阪大のホームページに似たのがあったな。

[45] 薔薇 2004/07/19 15:17

http://math.ten.thebbs.jp/1085582151/
の方に書いてしまいましたが、
こっちの方が良さそうなので2重投稿します。
1÷(1-0.99999999999999999999…)
の答えって∞でいいの?

[46] variant 2004/07/19 15:20

0では割れないよ。

[47] 薔薇 2004/07/19 15:26

反比例のグラフのxが0に限りなく近づくy軸付近って
yの値はどうなってるのかなって思ったんですが……

[48] 薔薇 2004/07/19 16:30

補足します。
lim[x→+0](1/x)=∞
ですよね。
それなら
1÷(1-0.99999999999999999999…)
も∞なのでは?
と思ったのです。

[49] variant 2004/07/19 22:42

前者は今から極限をとるけど、後者は既に極限をとられている、
ていう違いですかね。
0.999...は何が何でも1に等しく、一方1/xはxを何に近づけるかで
結果が変わるというか。
あ、上記は全く自信ないので信用しないでくださいね。

誰か助けてw俺は物理屋だww

[50] variant 2004/07/19 22:48

わかったかも。
1/(1-0.999...)は、()の中身がぴったり0なのでそもそも
この演算は許されない。
一方1/xは、xが0でない限り、どんなに値が大きくなろうとも
とりあえず確定しますね。
その値が無限に大きくなるってだけで、無限にはなりませんね。

[51] Katz 2004/07/20 04:32

私は計算機屋ですが(^_^)

>>50

その通りだと思います。
lim[x→+0](1/x)=∞ というのはその意味する所が厳密に定義されていますが
1/(1-0.999...) はそうではありません。
結局、分母の (1-0.999...) が意味する所が何であるかにかかってきます。
通常は、少なくとも数学的には (1-0.999...) はぴったり0と解釈します。
従ってこれが分母に来るのは許されません。

[52] 薔薇 2004/07/20 12:21

>>34
>0.00...=0であるから(上で皆さんが仰るように"..."は無限数列の極限を取れという意味)

ということであれば分母の(0.0000000000...)は
lim[x→+0](x)
を行っているように思うのですが……

[53] variant 2004/07/20 12:40

>>52
1/(1-0.999...)は、
(形式上)1/{1-lim[x→∞]{1-10^(-x)}}であって、
lim[x→∞]{ 1/{1-{1-10^(-x)}} }ではない
という事です。

[54] 薔薇 2004/07/20 14:11

だんだん難しくなって僕の壁に到達しちゃいました。
僕の頭の中では、
1-0.99999999…を終わることなく計算し続けるオヤジがいて、
1桁計算が終わるごとに
y=1/xのxに代入しながらグラフを書いています。
決してy軸と交わる(x=0)ことはなく、
そのyの値は莫大なモノになっていきます。
1-0.99999999…の計算が無限に続く以上、
そのyの値もまた、無限に大きくなり続けていくことでしょう。
僕の命は有限なので付き合い切れませんが、
そのオヤジが向かっているのは∞じゃないんでしょうかね?

[55] variant 2004/07/20 14:52

∞という数は、普通数学では考えないです。
× ∞に近づく
○ 無限に大きくなる、無限大に発散する

[56] variant 2004/07/20 14:54

ちなみに、1/0=∞と考える数学の分野もあるらしいです。

[57] 2004/07/21 09:38

丸め誤差で手を打っとけ。

[58] 走行距離1Chm 2004/07/22 13:06

1÷1.0をこんな変わった方法でやればいいんじゃない?

  0.99999・・・
  ____
1)1.0
    9
    __
    10
    9
   ___
    10
     9
    ___
     10
      9
     ___
      10
       9
      ___
       ・
        ・

スレ主居ないぞ?

[59] 煉獄 2004/07/23 12:12

0ではないが0に限りなく近い数は存在するかについて考えてみたのです。

0ではないが0に限りなく近い数は存在すると仮定して、その正の数のほうをαとする。
ここでα≠0である。ここで2αについて考えてみると、0<α<2α。
また2α≠0である。0<α<2αの全部を1/2倍すると、0<α/2<α。また「α/2≠0」、「α≠0」である。
ここでα/2<αと言う式に着目すると、αよりα/2の方が小さいので、αは0ではないが0に限りなく近い数でなくなってしまう。
よって背理法により0ではないが0に限りなく近い数は存在しない。

やはり0ではないが0に限りなく近い数は存在しないのでしょうか?

[60] takuya 2004/07/23 12:18

"限りなく近い"の意味は?

[61] 数学、物理だいすきくん 2004/07/24 03:37

>>0

1=0.999999999…を表せ

証明
 x=0.99999…とおく   …�
10x=9.99999…      …�

�−�⇒ 10x−x=9.99999…−0.99999…
 9x=9
  x=1

よって   1=0.999999999…

多分こうなるんだと思います
まちがってたらごめん

[62] 数学、物理だいすきくん 2004/07/24 03:42

ずれたのでもう一度

1=0.999999999…を表せ

証明
 x=0.99999…とおく   …�
10x=9.99999…      …�

�−�⇒ 10x−x=9.99999…−0.99999…
       9x=9
        x=1

よって   1=0.999999999…

[63] 数学、物理だいすきくん 2004/07/24 04:07

>>61 >>62
http://math.dot.thebbs.jp/r.exe/1074602868.e40
ここで既出だったようです。
どうやら場違いなことを言ったようです。
すいませんでした。

[64] Katz 2004/07/26 11:20

>>63
自分で気付いて自分で謝罪記事を出したのは賞賛に値します。
と、スレ主でも無いのに偉そうな事を言ってみたりして。

>>54
> 僕の命は有限なので付き合い切れませんが、

まさにこの点が重要です。
人間の命は有限なので、そのオヤジが「最後」には「どこ」に到達するのかは
誰にも見届けられないのです。
どんなに長寿の人間が居ても、寿命が有限であるかぎりは。
実数の範囲内には無限大という値が含まれていない事に気付いてください。

[65] holly 2004/08/07 15:26

1のあらわし方は一通りじゃないってことだろ?

[66] 名も無きザビラー@ザ掲示板 2015/01/23 17:14 ML/Yms1ePdh

000000001/0.3

[67] CC16 2016/01/11 17:08 JG/TKazxXk0

1=0.999999・・・小数点以下「9」が無限に続く。この「無限」は我々の世界にはない。我々は「無限」を実感できない。そこから小数点以下「9」が「何兆桁」続こうと「1」より少ないと理解する。それは小数点以下の「9」が例え何桁つづこうと「有限」だと思っているからである。実はその「9」が「無限」に続くのである。これを数学的に証明するのは比較的簡単である。

その一例として・・・

X=0.999999・・・と置く。
(両辺に10をかける)
10X=9.999999・・・となる。
(両辺からXを引く)
9X=9 となる
(両辺を9で割る)
X(0.999999・・・)=1 となる。

[68] 2016/01/11 17:16 qF/bsYpE72U

>>67
何が言いたいのかさっぱりわからない(´・ω・`)

[69] CC16 2016/01/11 17:28 JG/TKazxXk0

0.999999・・・無限に続く=1ということ。
わかったか。

[70] 2016/01/11 17:33 qF/bsYpE72U

>>69
厳密にはイコールじゃないけど、例えば何か計算するときは、その精密さに応じて便宜的に1、1.0、1.00等として扱うよね。

ってことが言いたいのでしょうか?

[71] 2016/01/11 17:42 qF/bsYpE72U

このスレ頭から読んでみた。
>>61,62で結論出た雰囲気になってるけど、これは証明になってない(´・ω・`)

[72] CC16 2016/01/12 10:06 JG/zg5lZ0FI

>>70 そうではありません。「0.999・・・無限に続く= 1」 は数学の公理なのです。決して「≒」ではなく「=」なのです。これはここのスレ主、私を含めた一般人には、納得しづらいことです。ではどう理解したらいいか。そこで考えついたのが「無限に続く」に鍵があると思いつき、そこから>>67 のレスになったわけです。

これは私と論争するより、「0.999999・・・= 1の理由」で検索する方が良策です。(実は>>0だけ読んでレスしたので >>62は読んでいませんが間違いではありません)

[73] 2016/01/12 11:07 qF/bsYpE72U

>>72
そうでしたか、では検索してみます。

私がなぜ証明になっていないかと言ったのかは、
9.999…− 0.999…=9 にはならないからです。
(普通には計算できないので極限を使って計算すると、答えは9になるはずですが、それは極限を使っているからであって、だったらそもそもそんな計算しなくても最初から答えは1になり、議論にならない。)

検索の先に答えがあることを期待します。

[74] 2016/01/12 13:07 qF/bsYpE72U

なんとWikipediaに件の項目がありました笑
「0.999…が実数ならば」と書いてあったので、そりゃそうだというのが正直な感想です。
このスレは実数であることを前提に話が進んでいたのですね(・∀・)

[75] 2016/01/12 14:20 qF/bsYpE72U

改めて読み直したけど、議論のズレは0.999…を実数と見ているかどうかにすべて起因している気がするなぁ。
ま、古いスレだからもういいのだけど(*´﹃`*)

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