FC2 ザ掲示板

カテゴリ
テーマ別トーク >> 学校生活・学問

1と0.999・・・・・・は等しいのか?

このエントリーをはてなブックマークに追加

[0] 数学探検隊 2007/03/24 15:43

議論よろ。

790件のコメント 1番から790番を表示中

最新20件 dat viwedatをダウンロード
[1] 数学探検隊 2007/03/24 15:48

1から0.999・・・・・を引くと答えは永遠に0.000・・・・・。
1と0・999・・・・・の差が0ということは1と0.999・・・・・が等しいといえるんじゃない?

[2] Katz 2007/03/25 03:17

この議論は定期的に繰り返されるようですな。

簡単に説明するには >>1 が一番簡単ではないかと、私は思っています。
が…これで「納得」しない方は多いんですよね。
(「理解」ではなくて「納得」です)
そうなると0.999...はそもそも何を意味するかという、
非常に根源的な所を見直さないといけなくなります。

[3] BERRY 2007/03/25 03:31

いろんな条件を認めた上での初等証明を示すと…

x = 0.999……とおいて
10x = 9.999……
9x = 9
x = 1
よって、x = 0.999…… = 1

でいいはずです。一般的な公理系が前提です。
なので、突き詰めてしまうとまさに
実数の連続性とか考えなきゃいけないと思うので…

[4] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/25 04:03

四捨五入で解決してはダメですか??

[5] ヴァルフリート 2007/03/25 05:01

0.99999…9と9の個数が有限なら、>>3 の議論は当たり前ながらできないですよね。
0.999を10倍すると9.99です。9.99から0.999をひいたら
9x=8.991ですからx=1となりませんよね。
で質問なんですが何故9が無限につづくとき何の論証もなく
10x=9.99…�
x=0.99…�
として�−�を計算して9x=9としたのですか?
�−�の演算は私は直感的に
9x=8.99999999999999999999…1
である気がします。�の式は少数点以下の9の個数を仮にN個としたなら
�の式ではN+1個の9が続くと思います。
�−�の右辺が9となるなら9の個数がそろわないといけないと思います。

Nを有限の範囲でどんどん大きくしていけば、
9x=8.9999999999999999999…�となるので�−�は右辺を9と考えるより�と考える方が自然な気がします。
もし0.9999…となりまして=1ならば9x=9としていいのかもしれない気がしたり。
[考え方間違っていましたら指摘してください。]

[6] BERRY 2007/03/25 05:54

>>4
四捨五入は、「ほとんど同じ数にする」操作なので……(^_^;)

>>5
確かに論証がないので、大学レベルの数学では相手にされませんね。
ただ、循環小数の性質は認める(というか高校数学)なら>>3 は真です。

循環小数を分数にするとき、どうしますか?
0.128128128……
1000倍して同様に
0.128128128……=128/999
とする方法は、高校数学の範囲では一般的です。
ただ、これは循環小数と整数(あるいは有限の数)の乗法と減法を
(他にもあるでしょうが)認めて初めて成り立つのです。

ですから、この初等証明を証明するには、
もっと根本的な部分(公理系までいっちゃう?)からの
証明が必要だと思います。

>Nを有限の範囲でどんどん大きく
「有限」では題意に反します…
ので、「有限」が「無限」に動くということですか?
そんな数を容易に10倍したり減算したり
操作できるのでしょうか?

携帯からなんで、改行とかいろいろすみません。。

[7] 2007/03/25 09:00

>>0-1
等しくない。

そもそも数学上、「0.9999…」の意味は「1に達していない」と言う事をあらわしているのだから、等しいとする事は無理。

[8] copre 2007/03/25 09:32

>>7
賛成。lim(x-0)みたいなもんじゃないの?
1/(x-1)に0.99...は代入できるけど1は代入できない
みたいな。あくまで直感だけどね

[9] BERRY 2007/03/25 09:58

>>7-8
>数学上……あらわしているのだから
そのような定義はなかったと思います。
数学上 1=0.999…… は正しいとされています。
アルキメデス性やらなんやらを認める上でですが。

無限等比級数を使って、
 lim[n→∞]Σ[k=1からn]9/10^k
を計算してみてください。
初項9/10、公比1/10だから
 Σ[k=1からn]9/10^k
=(9/10)*(1-1/10^n)/(1-1/10)
=1-1/10^n
よって、
lim[n→∞](1-1/10^n) = 1
∵lim[n→∞]1/10^n = 0 なので。

ちょっと間違えてたらごめんなさい(^_^;)

ただし繰り返しになりますが、このような初等証明が
認められるのは高校数学までです。

[10] copre 2007/03/25 13:45

1=0.99..に意見変更w
なんかもうもう1/3×3=0.33..×3=0.99..=1が一番納得いく
証明な気が…。否定できる部分ありませんよね?上の証明。

>>7
極限値が実際の値と同値とするのはいいんですか??
あくまできわめて精度の高い近似値でしかないと思うんですが。

BERRYさんの証明だと
lim[n→∞]((0.1)^n)=0をみとめないと行けませんよね。

これだと、
(1) lim[n→∞](1/(0.1)^n)=lim[n→∞](1/0)=定義されない。
(2) lim[n→∞](1/(0.9)^n)=lim[n→∞](1/0.1)^n
=lim[n→∞]10^n=∞となり
矛盾が生じてしまいませんか?

[11] 落ち武者 2007/03/25 14:02

>>10
近似じゃなく、等しいのよこれは。
極限値を数とみなすのではなく、近づけていく一連の動き(無限数列)を数とみなすのよ。

[12] BERRY 2007/03/25 14:16

>>10
えっと…じゃ一つずつ(^_^;)

まず、copreさんの考え方だと
lim[h→0]{(3h^2+5h)/h}
もゼロ除算になって定義されなくなってしまいますね。
でも実際は
(与式)=lim[h→0](3h+5)=5
と極限値を導きます。
ちなみに、上のような場面は導関数の計算で出てきますね。

で、(1)について。
lim[n→∞]{1/(0.1)^n}を計算するのであれば、まず
 lim[n→∞](0.1^-n)
=lim[n→∞](1/10^n)
と変形します。
lim[n→∞]10^nは計算できて、極限は∞です。
だから当然、lim[n→∞](1/10^n)=0
なのです。
実際、0.1,0.001,0.0001,…,→0ですね。

(2)は何をしたいのかよく分かりませんが、変形が間違っているようですね。。

長くてごめんなさい、、
……納得していただけますか?(〃>_<)

ただ、本質として大事なのは
「この事実を整数論のレベルから考察する」
ことだと思うんです。
だって、高校数学では今まで述べたとおり結論が出ているので。

[13] 落ち武者 2007/03/25 14:21

てか、(1)(2)がよく分からん。
極限を変に覚えてる?

>>9 は、
lim[n→∞](1-1/10^n) = lim[n→∞](1)-lim[n→∞](1/10^n) = 1
の意だろ。

[14] 数学探検隊 2007/03/25 17:54

意見分かれますよね。>>1 の説明なら小学生にもわかるよ。

[15] copre 2007/03/25 20:19

(2)はlim[n→∞](1/(0.1)^n)=lim[n→∞](1/0.1)^n=lim[n→∞]10^n
の打ちミスです。修正しなくても分かるかなと思って
放置していました。

変形していけば∞にたどりつけるんだけど、
この2つの極限はいってしまえばx=1/nとおいたとき
n→∞のとき(0.1)^n=0とするのだから、
lim[x→0](1/x)と等しいのではないかということです。
とするとこれが∞という値になるのならば
n→∞のとき1/(0.1)^n=0ではなくて
n→∞のとき1/(0.1)^n=+0になるのではないかと。

[16] 風来のシレン 2007/03/25 20:23

1は1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000
であり
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
とは座標上で近いだけ。

[17] copre 2007/03/25 20:24

あ〜そうだここに来てる人…といっても
いろんな人がいるけれどどういった人たちなんでしょう。
大学の数学科に行っているひとなのか、僕と同じように
高校生なのか、数学とは関係ない社会人だけど趣味で独学して
いる人なのか・・・。みなさん知識がとても豊富そうなので。

[18] copre 2007/03/25 20:30

>>15
みすだらけだ・・・。
n→∞のとき0.1^n=0ではなくて
n→∞のとき0.1^n=+0になるのではないかと。

[19] ZERO 2007/03/25 20:39

>>7
数学上等しくないって...

高校の数3の教科書では0.9999...=1となってますよ。

[20] BERRY 2007/03/25 20:43

>>15
lim[n→∞](0.1)^nと
lim[x→0](1/x)は別ですよ。
というか、何を言いたいのかよく分からないのですが…
でも、確かに+0を通過しますが、収束するのは0です。
n→∞とはそういうものなので(^_^;)
上手く表現できませんね。。

>>16
有限小数では確かにその通りです。
ただ、いくら桁を書いたとしても、それは有限小数でしかないのです。
別の数になるのは当たり前ですね。

[21] Katz 2007/03/26 10:00

おお、久し振りに盛り上がってますな(^_^)

>>5
> Nを有限の範囲でどんどん大きくしていけば、

ここがミソですね。
Nが無限大になると N≠N+1 が崩れます。
有限と無限とは決定的に違うのです。

0.999999…
9.999999…
と桁を揃えて並べたとき、実際に桁がズレるのは具体的に何桁目でしょうか?

[22] 南溟道人 2007/03/26 13:00

>>3
10x = 9.999…… から
9x = 9 を導く根拠が不明確で、結論先取りの疑いがあると思います。
しかし
>>1 の >1から0.999・・・・・を引くと答えは永遠に0.000・・・・・。
も、
>>10 の >1/3×3=0.33..×3=0.99..=1 も
数学的に正しい証明で、なんら疑う余地はないと思います。

[23] BERRY 2007/03/26 13:49

>>22
>>3 も正しい説明ですが笑
>>3 が不明確で>>1>>10 に疑う余地がない根拠を示してください。

[24] ベイカル 2007/03/26 17:02

>>3
10x=9.9999…
 x=0.9999…
_______
9x=9
 x=1
の間違いなのでは?  

[25] BERRY 2007/03/26 17:26

>>24
筆算は省略しましたが、どこか間違ってますか?

というかこれで納得できない人は>>9
無限等比級数でも証明してますので(^_^;)

[26] はな 2007/03/26 18:00

視力が悪い人からするとイコールだな。
ほぼ同じに見えるだろうし

[27] プル脳 2007/03/26 18:50

釖は低脳。

[28] emu 2007/03/26 23:18

>>3
10x=9.999……
9x=9
は上下証明不能のような。

9x=8.999……
となって以降
x=1にならず、x=0.999……で、1=0.999……とならない。

極限値が等しいとすると、1=0.999……、0=0.000……1となり、数が0を無存在、+1以上
(小数でも可)を存在とした場合をもととする数学が崩れるから、証明不可能。乗法・除法を
使用したとしても、0からは何も生まれないのであって、加法・減法の基礎部分も同じことである。
すべての物理的考察は、そのあらゆるエネルギーの要素的性質の排除による証明はなしえない。

[29] BERRY 2007/03/27 00:07

>>28
9.999……から0.999……を引くと9でしょう。
なぜ、8.999……になるのでしょうか?

また、0.000……1のくだりがよく分からないです。
手順を示して頂けますか?

[30] ヴァルフリート 2007/03/27 04:56

私は極値計算の観点から1=0.99999…派の人間ですが
>>3 の証明に疑念を抱いてしまう派の人です。
N≠N+1が崩壊するとは?
∞+1=∞なんですか?
∞ってどう定義される概念なんですか?

[31] BERRY 2007/03/27 05:42

>>30
∞+1=∞です。
∞は数値ではないので、「有限」の常識を覆すのです、と確かこんな感じでは(^_^;)
また、0.999…の10倍は9.999…として、
引き算して小数部が消せるのも同じような感覚では?

ただ、無限循環小数の性質を疑問視するならば話は変わるでしょう。。
「かけ算はできない!!」とか…

誤解の多い証明なので、級数でいいと思います(・∀・)

[32] BERRY 2007/03/27 05:43

あ、上のは正しい定義ではなく「うろ覚え」です(>_<)

[33] Katz 2007/03/27 10:06

無限大∞の定義は、厳密にはどうするんでしょうね(^_^;)

1. あらゆる自然数よりも大きな「数」を考え、これを記号∞を用いて表す
2. 自然数との間に四則演算を定義する。その時に1.と矛盾しないように気をつける
2-1. ∞+n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少増やしてもやはり∞)
2-2. ∞−n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少減らしてもやはり∞)
2-3. ∞×n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少増やしてもやはり∞)
2-4. ∞÷n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少減らしてもやはり∞)

こんな感じでしょうか?
結局「無限大は自然数とは別の何かを持ってきて数っぽく定義した要素」であり
自然数ではありません。
だから自然数と同様の感覚は通用しません。
もうちょっと厳密にやるなら極限とかと絡めて定義する事になりますかね。

と言う訳で∞を素朴な感覚でいじり回すとロクな結果になりません。
最終的には
> 誤解の多い証明なので、級数でいいと思います(・∀・)
が正解かと、私も思います。
そもそも 0.999…の「意味」も級数で議論すべきですしね。

最後に一つ。私、間違いました(^_^;)
>>21
> Nが無限大になると N≠N+1 が崩れます。

「Nが無限大になると N=N+1 が崩れます。」
の、間違いでした。混乱されてしまった方、申し訳ありませんでした。

[34] Katz 2007/03/27 10:16

>>28
言いたい事はわかりますが…

> すべての物理的考察は、そのあらゆるエネルギーの要素的性質の排除による証明はなしえない。

は、ちょっと行き過ぎですね(^_^;)
数の定義は物理とは無関係に可能です。

> 0=0.000……1

この…の部分が問題です。
具体的に何桁くらいの0が続くと思いますか?
>>33 で触れた通り、∞は自然数ではないので、
厳密に考えなきゃいけない時には「無限桁の後に1が来るんだ」という主張は通りません。

言い方を変えて「限り無く0が並んだ後に1が来るんだ」としても、
「限りが無い」なら「その後」は存在しないのです。

[35] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 14:06

高校数学の教科書に書かれてる、(高校数学で扱う公理系における)
極限値の収束を定義した式ってどうなってましたっけ、αとか使う奴。
あれを使用することを認める公理系なら、確実に
0.99...(循環小数)=1となりますが。

[36] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 14:39

でも正確には0.9999...は1ではないのでは?
限りなく1ではないのですか?
1にしてもいいって言うだけで正確には。。。

[37] 2007/03/27 16:01

>>28
1=0.999……
0=0.000……1
の下りは、右項を左項に移項しただけ。1−0.999……=0、0=0.000……1だから。
このように1=0.999……の証明には、あらゆる乗法・除法・加法・減法が使われるとしても、
概念の説明に物理的法則を「無視」することが表れてしまう(1つの物質を割いても割いても
0になることはない)。ゆえにその証明は無根拠であることが証明されてしまう(逆に)。
ゆえに証明不能にて1=0.999……でない、と言える。

[38] emu 2007/03/27 16:03

>>28 ——>>>29

[39] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 16:36

>37
ふむ……しかし、逆に言えば1と0.9999...の間には、
「如何なる実数も存在し得ない」のですがその辺はどうお考えですか?

[40] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 16:52

間を調べるには足して2で割ればとりあえず一つはでてくるよね。
例えば1と2を足して3
3を2で割ると3/2
1と0.99999....を足して
1.99999999....
2で割ると1.999...../2
これは実数とはいえないかな。
だとしても1と0.99999...の間は/2をつけることで存在する。
屁理屈ですか??

[41] 2007/03/27 17:19

>>37
1-0.999... = 0.000...1
というのが、そもそもおかしい。
理由は>>34>>39 の人が述べているとおり。
もう一度、「無限に続く」の意味を考えるべし。

>>40
1.999.../2 は 1 や 0.999... と等しくないと言えればいいけど、
はたしていえるでしょうか?

[42] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 17:23

>>41 でも言われてますが、
1と1を足して2で割れば1が出ますが、
それと1.999.../2と0.999......が等しければ、
1と0.999との「間に」実数は存在しませんね。

[43] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:30

円周率=πはOK
π=3.14....と
π=3.14だと
言えるかどうかわからないけど、
π=3.14
でOKだとしている。
πは正確には3.14.....なわけであって
3.14ではない。つまり等しいとはいえない。だが同じ。
(たとえが違うかもしれないけど)

1と0.999・・・・・は等しくは無いが
0.99999....を1とみなしてよいとしているだけである。

[44] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:37

1=0.999......
しかしその背後には>>43

[45] emu 2007/03/27 17:40

>>39 逆に言えば1と0.9999...の間には、如何なる実数も存在し得ない

を表記するかぎり、その数学は証明性(物質性)に欠ける。
それにたとえ無限に定義された極限数の先の有限数(0.000……1)であっても、有限であるかぎり非存在にはならない。

[46] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:44

有限であるかぎり非存在にはならない。

ということは
1と0.99999........の間には
0.999999.......5が。。。

[47] 2007/03/27 17:46

>>43
本当は円周率は3.1415...だけど、それだと計算が大変だから
普段は、円周率に「ほぼ」等しい3.14を使っているだけです。
3.1415... = 3.14 だと主張してるわけではありません。

[48] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:52

>>47
ですよね
ほぼ等しいというだけで等しくない。
ですが0.99999.....も
1とみなして計算したほうがいいですよね??
どちらも同じかと思って。

[49] 2007/03/27 18:10

>>45
うーん、意味がよくわからん。
あなたは0.000...1という数字をどういう意味で使ってるんですか?
「0が無限に続いて最後に1がある数字」と思っているんでしょうか?
もしそうだとしたら、無限に続くのに最後の桁があるという
おかしなことになってしまいまうので、考え方が根本的に間違っています。
「0が有限個続いて最後に1がある数字」だと思っているなら、
0.000...1の解釈としては正しいですが、肝心の
1-0.999...=0.000...1
が成り立ちません。

[50] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:19

>>49
でしたら
1-0.999...=0.000...1
はなりたたないのであれば
1-0.999...で止めてしまえばOK。
0.000...1が存在しないようで存在する。
よって
1-0.999...=0.000...1は存在しないようで成り立つ。

[51] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:22

1.999...../2
も0.99999....5じゃなければ
1.999...../2
で止めてしまえば。
分数にしてしまえば大丈夫。

[52] 2007/03/27 18:24

>>48
0.999...を1とみなすというより、0.999...は1と同じ数です。
π≒3.14 だけど π=3.14... であるように
1≒0.999 だけど 1=0.999... なのです。

1≒0.999...ではないのでご注意を。

[53] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:28

>>52
逆でしょう。
0.999..=1
がしかし本当は
近似である。
だから1≒0.999
よって等しいとはいえない。

[54] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:36

結果=原因
0.999....という原因が1をもたらしていて
逆に1という原因は0.999....をもたらしてるはずがない。
だから近似であって=とは結びつかない。

[55] 2007/03/27 18:38

>>50
止めたところで、1-0.999...という数字がどういう数字なのかはっきりしないといけません。
1-0.999...= 0 ならば 1= 0.999...だし、
1-0.999...≠0 ならば 1≠0.999...なので、
1-0.999...が0なのかそうでないかがこの問題の重要なところです。

>>51
書き方が違えば、違う数字だというわけではありません。
「4/2」 と 「2」は見た目は違えど、同じ数字です。
1.999...../2が1と違う数字であると決め付けてはいけません。

[56] 2007/03/27 18:47

>>54
すいません。結果=原因というのがよくわかりません.

「0.999....という原因が1をもたらしていて
逆に1という原因は0.999....をもたらしてるはずがない。」
とはいったい?

[57] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 19:01

>>55
さきほど言った通り1と0.999...は等しくなく近似であると。
1-0.999...が0なのかそうでないかというのは0ではない。
しかし限りなく0だから0でOKとしているだけであって
でも実際はOではない。

>>56
問題の答えには原因がある。
その原因がなんらかの形で結果をもたらす。
例えば1+1=2
2は1と1を合わせたのが原因だった。

[58] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 19:08

1と1を合わせたのが原因で、結果2となったがよかったかな。

[59] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 19:11

>>57
それ、ただの循環論法ですね……1と0.999...が近似である「ならば」
、1-0.999...=0は近似である、というだけの。
高校までの数学で用いる公理系を前提とした上で、
>実際には0では無い。
というならば、少なくとも1≠0.999...を「前提とせずに」1-0.999...≠0を導ける事を示さなければ。

[60] 落ち武者 2007/03/27 19:13

>>57
ありゃまー。独特な人が来たもんだね。
0.999…の原因を一つ教えてあげようか。
1÷1を筆算でやる。その際、商の一の位に0をたてる。

[61] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 19:30

>>59
さきほどから気になってはいましたが
言葉では等しくなく近似だと言ってます。
数学を用いることになると等しいかと思います。

1=0.9999....は等しいとされている。
等しいとされているという言葉を付け加えることによって
1≒0.9999....といっている。

1=0.9999....(正解)

問題文は
1と0.999・・・・・・は等しいのか?

いいえ、等しくなく近似である。
1=0.9999....は等しいとされているだけである。
だから
1≒0.9999...
よって等しくない。

証明しなさいなどと問題文には書いては無い。
結果答えは間違ってはいないはず。

だからといって1=0.9999....は等しくない
ともいえない。
どちらとも言えないかどちらとも言えるが正解かな。

[62] プル脳 2007/03/27 19:39

ほちゃほちゃしてる?低脳。0点。

[63] 落ち武者 2007/03/27 19:39

>>61
寒い。

[64] emu 2007/03/27 19:45

>>39 逆に言えば1と0.9999...の間には、「如何なる実数も存在し得ない」のですが (0.9999……)

>>37  1つの物質を割いても割いても0になることはない (0.000……1)

ゆえに、逆に言えない。

[65] BERRY 2007/03/27 19:49

なんかたくさん進んでますね。
ちなみに上で誰かが言ってますが、
無限等比級数の極限計算は確か、
r < 1 で lim[n→∞]S_n = a/1-r
だったと思います。
rは公比、aは初項で、a_n = ar^(n-1)ですね。S_nは部分和。
この式を使っても、>>9 で使った式を使っても結果は同じですね。

>>61
数学的命題を数学的手法を用いて証明すれば、
それは真だと認められないのでしょうか?

確かに「証明しなさい」とは書いてないですが、
それで得た結論は「数学的命題」を「言語的観点」において
「考察した」に過ぎないと思います。
「言語的〜」とかは私の造語ですが笑

>どちらとも言えない
前提条件(公理とか)によってはそうですね。
ただ高校数学では間違いなくスレタイは真です。

[66] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:08

>>65
その言語的観点によって証明されたことは
数学的命題を証明したということが言えるのですか?

[67] BERRY 2007/03/27 20:18

>>66
その観点ではありでしょう。
ただ、今求められているのは数学的観点です。
数学的命題の真偽に対してはやはり、数学的証明が効果大だと思うのです。

2/2と526/526は全く違う形ですが、数学的にはどちらも等しく1ですね。

って回答になっているか心配ですみません。。

[68] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:30

>>67
しかし
見てきた限り数学的証明では
証明の仕方がさまざまであり場合によれば
等しくなったりそうならなかったりで
矛盾だらけで
永久に解決は不可能だと思います。

また、言語的に考察したと思っているだけで
考察とはいえてはいない。
問題文は漠然と等しいのかと聞かれているだけである。

1=0.999......これは数学的にはOKだということは承知のこと。
しかしその背後には
1と0.999・・・・・は等しくは無いが
0.99999....を1とみなしてよいとしているだけである。

[69] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:31

だめでしょうか?

[70] BERRY 2007/03/27 20:40

>>68-69
う〜ん…困っちゃうな(^_^;)
今まで「言語的〜」でこの命題を考えたことがなかったので…

等しくない、となる数学的証明ありましたっけ?初等証明の範囲で。
忘れてしまっただけかもしれませんが…

> 1とみなしてよい
それは「明確に等しくない」ことをぼかして
「=」を使えるようにするという事ですね。
ならば「≒」を使うべきです。または「≠」。
では、1/3 ≠ 0.333… ですか?

[71] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:50

>>70
私は一般的なことをいってるまでで
それは屁理屈に過ぎない。

[72] BERRY 2007/03/27 20:56

>>71
屁理屈?一般的?
もしかして公理を否定しますか?
そうでなければ証明を示して欲しいですね。

[73] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 21:01

>>72
おちつけ。

[74] 落ち武者 2007/03/27 21:03

おまいが言うな。

[75] BERRY 2007/03/27 21:04

>>73
どうしました?証明できないのですか?
ここに来ている人たちは、自分の理論を主張する際には証明を示していますが。

[76] 落ち武者 2007/03/27 21:06

おまいもマジレスすな。

[77] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 21:08

私は何もぼかしてる
わけではないといいたい。

[78] 落ち武者 2007/03/27 21:09

哲学板でどうぞ。

[79] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 21:11

>>78
確かにそうかもしれない。

[80] copre 2007/03/27 22:47

lim[n→0]h^2/h=lim[n→0]hとする際にはhはどれだけ
小さくしても0ではないという前提の上に成り立っているのに
lim[h→0]h=0とするのは矛盾してるじゃないか。
とまた掘り返して…。

ほちゃよ。
0.99..が本当は1に満たない極限だとすると
3×0.33..=0.99..<1
3×1/3=1
となり0.33..<1/3ということ?

1/3は0.33..の別表記だと認めるのに
1は0.99..の別表記だと認めないのは何で?
1≦0.99≦0.00..1は真である。

[81] emu 2007/03/27 23:20

3X0.33…=0.99…
が成り立たない。0.99…を1でない、と仮定しているのだから、0.33…=0.33…0であり、
3X1/3が1にならず、0.33…<1/3は正しいことになる。数学に定義される等式内加減乗除の
自由を証明中使用しても、それを超える定義0.00…1=実在数を仮定した場合、脆くもその
過程を覆されることになる。

[82] BERRY 2007/03/27 23:37

さっきから度々出てくるけど
0.333……1っていうような表記はどういう数を示してる?
まさか、無限桁後に1で終わる小数だなんて定義するのですか?

[83] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 00:51

>>82
>>39 の後に>>45
で有限である限り非存在にならないということを
わかってもらえるかどうかです。

[84] BERRY 2007/03/28 01:09

>>83
あぁ、なんとなく分かります。「……」は有限ですね。
少し前に「……」を無限とする考えが挙げられていたので…

[85] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 01:12

>>84
これをどのように考えますか??
私は否定できません。

[86] BERRY 2007/03/28 01:19

>>85
う〜ん(^_^;)
そういう数学体系を矛盾なく構築できればいいかと。
少なくとも、一般的な「0.999…」と「極限」の定義では矛盾するでしょうが…

[87] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/28 10:28

>>45
循環小数は、そもそも桁数が無限である事を前提とした表記だと思うのですが。
>「無限に定義された極限数の先の有限数」
の、「無限に定義された極限数」と「の先の」というのは、(少なくとも高校数学で用いる公理系では)矛盾しているのでは?
「〜の先」を設定する「端」が存在しないからこそ「無限」と定義されるわけで。
あと……もし「『直観主義論理』と『矛盾許容論理』に基づく数学」の話がしたいならば(少なくとも前者の立場である事は明白に思えますが)、
それらを明示しないまま「数学的証明では」等、数学上の普遍的な内容であるかのように言うのは好ましくないかと。
1と0.999...が一致しない公理系が存在可能である事は否定しませんが、
そのような公理系は不特定多数に対して何の前提も無しに用いられるほど、一般的な物では無いのではないでしょうか。

[88] 落ち武者 2007/03/28 10:59

>>80
?おまいは何を言っている。
lim[h→0]h=0
も、どこかでhが0と「等しくなる」という意味ではない。
lim[h→0]hに対して、0という数を対応させるルールにしてあるだけだ。

[89] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:01

>>87
数学や算数の等式の意味はなんでしょうか?

[90] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:17

>>87
別に面倒でもないし、めっちゃくちゃ難しいってこともないけど
もう少し具体的かつ簡潔に文章を作成したほうがいいと思う。
誤解を招く可能性はあるからね。スルーしてかまいませんが今後のためにと思って。

[91] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:25

疑問点
1と0.9は等しいのですか?

[92] 落ち武者 2007/03/28 11:34

1≠0.9
1≠0.99…(有限個)…9
1=0.99…

[93] 落ち武者 2007/03/28 11:35

1/3≠0.3
1/3≠0.33…3
1/3=0.33…

[94] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:38

lim[n→∞](1-1/10^n) = 1
ではこれはどういう意味でしょうか?

[95] emu 2007/03/28 11:42

0.00…1=1−0.99… ですが、極限値の「無限」性がこのような式で表された場合、無限内に
ある「有限」が1=0.99…でないことを証明すると思いますが、数学的公式や等式を使用して
それを覆すことはできますか?

[96] 落ち武者 2007/03/28 11:42

nを限りなく大きくしていくと、1-1/10^nは1に限りなく近づく。

ここで高校の講義をしろというのか。

[97] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:51

なるほど。

∞×3=∞
−∞×3=−∞
無限大は具体的な数字じゃないか。。。

0.999....は具体的な数字ではないかもしれないけど
掛け算や割り算は可能でしょうか?

[98] 落ち武者 2007/03/28 11:56

>>97
そうは問屋が卸さない。
n→∞のとき、3n→∞,n^2→∞
∞÷∞=?

数字ではなく、数。
実数での四則演算ができる。

[99] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 12:15

四則演算が可能ですか。

1.9999.../2
というのは「可能」だけれど、
間の数が存在するためには1と0.99...
が違う数字でなければならない。
1.9999.../2
割ってみると0.999...余りlim[n→∞](1/10^n)
余りは限りなく0

あー何がいいたいのかわからなくなってきた

[100] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/28 12:15

>>90
忠告感謝。正確に伝える為の過不足の無い情報量って難しいですね。
詳細に書きすぎると誤読の可能性が増えるし、
簡潔にし過ぎても、解釈が食い違うと齟齬が起きますし。
>>89
等式の意味は通常は「等号の左右が代入原理を満たす同値関係にある事を示す式」といったところでしょうか。

1=0.999...が成立する公理系では、1の代わりに0.999...を用いても(或いはその逆でも)、(表記法の差はあれ)等しい結果が得られます。
1≠0.999...な公理系では、等しい結果が得られるとは限りません(得られないとも限らない)。

[101] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 12:23

限りなく0と0
   ↓
限りなく0は0ではない
   ↓
限りなく0≒0
限りなく0≠0(?)

[102] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 12:42

1=3×0.33...
は右辺が原因で1という結果をもたらすとは言えますが
1という結果は右辺の原因をもたらすとは言いませんし
逆に右辺が結果で1が原因だとはいえません。

1+1=2であれば
2という結果は1+1が原因であり
1+1という結果は2である。

等式は
結果=原因とは考えられないでしょうか?

[103] emu 2007/03/28 13:00

>>96 nを限りなく大きくしていくと、1−1/10^nは1に限りなく近づく。ここで高校の講義を
しろというのか。

だから、この前提の問題は、変数nではなくて、極限数0.99……(または0.00…1)ですよ。
変数(n)内で限りなく大きくしても、0.99…… が無限近似数(1)だとはいい切れません。
1−1/10^n=0.99…… といえない(nを限りなく大きくしていく=0.99……であると
仮定する以外——>証明になってない)以上当然。

[104] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 13:09

lim[n→∞](1-1/10^n) = 1
というのはわざと0.99..をぼかしているのでしょうか?

[105] emu 2007/03/28 13:28

0.99……よりも0.99……^2(^n→∞)のほうが1に近いように見せているかぎりぼかしているだろうね。

[106] emu 2007/03/28 13:30

>>105  0.99……^2(^n→∞)でなくて、1−1/10^2(^n→∞)

[107] Katz 2007/03/28 14:04

一気に読んで、少々混乱してきました(^_^;)

>>37
物理的な事象と数学的な数との間に関連性を求めると判断を誤る元になります。
一つの物体は分子(または原子)の「有限」な集合です。
従って、半分の半分の半分の…と分割していくと、
何回目かで必ず分割できなくなります。
その回数も計算で求める事が可能です。
それがどんなに大きな数であっても、数学で取り扱う所の無限にはなりません。

>>83-84
いや、「…」は有限ではなくて無限のはずですが。
ここが有限であるということなら、議論の最初から話が違います。
ちなみに、「…」が有限であるならば、書き方として 0.999…9 と書かないと
誤解を招きます。

[108] Katz 2007/03/28 14:09

>>107
おっと >>92-93 で示されていましたね。

>>103
極限は近似とは違います。
両者は全く別の概念です。

[109] emu 2007/03/28 14:41

でも0.33…X3=0.99…というのは0.99…=1だから、1=0.99…といっているようでおかしい。

[110] emu 2007/03/28 14:46

>>37  1つの物質を割いても割いても0になることはない
>>107 >>半分の半分の半分の…と分割していくと、何回目かで必ず分割できなく——ならないのでは?

[111] emu 2007/03/28 14:50

>>107 >>物理的な事象と数学的な数との間に関連性を求めると判断を誤る元になります
デジタルの0と1での二進数のように、アナログでないからといって、すべてを事象どおりに
表示(記録)できないとはいい切れない(そのために数学的証明がある)のでは?

[112] 南溟道人 2007/03/28 14:59

もう一度書きますが
>>1
>1から0.999・・・・・を引くと答えは永遠に0.000・・・・・。
これは、実数についての公理

A-B=0→A=B

A≠B→A>BまたはB>A→
次のいずれかを満たすCが存在する、A>C>BまたはB>C>A
これに則った説です。
よって、仮に
1≠0.99... を主張するならば、
まず
一 実数の公理に基づいて、1≠0.99... である(>>1 の証明は誤り。)
二 実数の公理は、1、0.99...などの表現の持つ自然言語上の意味に反する、直観・経験に基づいて1≠0.99...の公理系が成り立つ

このどちらを主張するのかを明らかにすべきと思います。

[113] Katz 2007/03/28 15:25

>>110
> >半分の半分の半分の…と分割していくと、何回目かで必ず分割できなく——ならないのでは?

いいえ。
物体は、分子の有限の集まりです。
従って分割していくといつかは分子一個だけになり、
それ以上は分割できなくなります。
(原子とか素粒子とか、言葉を変えても結局は一緒)

>>111
いやいやそういう意味ではないのですよ。
例えば今問題になっているところの「無限」あるいは「無限大」は、
物理的な世界(宇宙と言い換えてもいいです)の中には対応するモノあるいは状態はありません。

>>112
最終的にはそこに行き着きますな。

[114] emu 2007/03/28 18:58

>>113 分割していくといつかは分子一個だけになり、それ以上は分割できなくなります
分割していって分子一個となったときに止まるとしたら、その2分割行為者は、その余り(0.00...1)をどこへやった(等式上)のだ? 最後に残った実数を足しても
引いても1=0.99...を成り立たせないに十分だから、1≠0.99...と言えるのでは?

それに分子レベルの話になったけど、物理学を超えた量子学では、分子のさらに微小単位に
さらなる物質があり(エーテル?)、それが現れたり消えたりするということをつかんでいる。
つまり、0になったり1(0.00...1)になったりするから、四則演算の除法である「分割」を
行っても、分割不可能ではない(0になった時点でそれは有限である——>1≠0.99...である)。

[115] 落ち武者 2007/03/28 19:11

>>114
だから現実と数学をごっちゃにするなって結論になるんだろうがよ。
数レス前のことぐらい覚えとけ。

[116] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 21:14

現実と数学をごっちゃにしてはいけない
デメリットやいけないことはあるんでしょうか?

[117] ごちゃごちゃしてる! 2007/03/28 21:47

デメリットって…
単に、それは数学じゃないってことだが。

数学とは無関係に「1と0.999・・・・・は等しいのか?」と問えば、
数学音痴の哲学屋が、在らん限りの妄想を聞かせてくれるが、
哲学的価値はともかく、それは、数学じゃない。

[118] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 22:18

では
数学的に解決しようとしても
みなさん矛盾だらけで未だ不解決。

その点については?

[119] ごちゃごちゃしてる! 2007/03/28 22:21

数学的には、特に矛盾は無い。
それが理解できない者もいるってだけのことだが。

[120] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 22:27

>>113
折り紙を半分の半分の半分...はいつかは限界は来ます。
でも数を半分の半分の...は限界はないです。

1.9999.../2

成立するのでしょうか?返答がまだですが?

[121] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 22:33

>>119
それはやはり納得させていないという証拠と、
漠然と質問されたときにふと感じる つまり
等しくないと思う人間がたくさんいるわけで。。。

[122] 2007/03/28 22:41

>>116
現実の世界がどうであろうと公理系にさだめられたことのみを認め、
それに沿って研究していくのが数学。
もちろん、あまりにも現実離れしていて実用的でないのも困るから、
なるべく直感にあうような公理系を選択しようとはするけど、
そのような公理系で得られた事実が、わたしたちの直感と完全に
一致するという保証もない。

そんなわけで数学的な証明において、「現実はこうだ!」とか
「直感的にはこうなる!」といった主張は無意味なのです。

[123] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 22:47

では
数学的証明がすべて正しいのだといえますか?
私は数学的には等しいといっているのですが、
また私なりにあとemuさんの主張も肯定できる部分はあると思うのですがどうなんでしょうか?

[124] 落ち武者 2007/03/28 22:55

>>123
白々しいからやめろって。>>36 >>40 >>43-44 ,>>47-48 >>50 >>53
不毛な誤魔化しにスレを消費すな。

[125] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 23:06

>>124
1.9999.../2

成立するのでしょうか?

[126] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 23:09

>>124
余談ですが
乳酸菌足りてます??
最近いらいらしてませんか?笑

[127] 落ち武者 2007/03/28 23:16

成立って何が?
1.999…/2
だけでは真偽を答えようがないだろ。

[128] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 23:19

>>127
四則演算が可能なのですよね?
ですからこれは間違っていますか?
1.9999...を2で割るという行為は。

[129] 落ち武者 2007/03/28 23:24

行為て。

定義されてて、あてはまる数が実数の範囲にあるよちゃんと。

[130] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/28 23:26

さて、「公理系」の意味を判ってないのか、
判っていて荒らすためだけに判らないフリをしているのか……

成立するように定義すれば成立する。
ただし、その定義は一般的な数学の公理系の定義ではない。

……それ以上のどのような回答を数学カテで求めているのでしょうか?

[131] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/28 23:28

ちなみに、1=0.999...を認める(一般的な高校数学の)立場では、
1.999...=2だから、それを2で割っても1になるだけですよ?

[132] 落ち武者 2007/03/28 23:31

私には、数学苦手な中二病患者が失敗を誤魔化してるように見えるけどね。

[133] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 23:55

>>131
1=0.999...を認めない立場では
emuさんの言ってることは一理はあるかと思います。

[134] 落ち武者 2007/03/29 00:06

どこが?

[135] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/29 00:12

>>134
とりあえず整理してみましょう。

[136] 2007/03/29 00:23

ここで空気の読めない私が、流れをぶった切ってレス!

>>123
「数学的には等しい」という答え以外にほちゃさんは何を求めて
いるのでしょうか?
「1」や「0.999...」は数学の記号であって、現実の物事と1対1に
対応するような意味をもつものではありません。
「1」,「0.999...」を数学的に理解し、それらが数学的に等しい
というのがこの問題のすべてだと思うんですが。

>>133
1≠0.999...を認めない立場とはどんなものでしょうか?
その立場では0.999...とは何を意味してるのでしょうか?

[137] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/29 00:34

ごめんなさい
明日から2日間泊まりがけで出かけるんで
準備に忙しいもので、マジで空気読めてないですけど
また連絡します。失礼します

[138] プル脳 2007/03/29 20:47

ほちゃほちゃしてる? 低脳。0点。

[139] メシスト 2007/03/30 01:15

ほちゃほちゃしてる?さんは、1を3で割れますか?
・・・無理ですよね?
何が起こっても無理です。
0,3333333333333333333333333333333333・・・
とずっと続いていくわけであり、0,3や0,33では意味が異なってきます。
簡単に言うと、ここで言う
0,3333333333333333333333・・・
とは、1/3の目安のようなものです(なんか違うが・・・まぁいいや(マテ
なので、
0,99999999999999999999999999・・・
は、0,33333333333333・・・
を3倍したわけであり、=1とつなげてもいいのです。
・・・何故か
それは、1を3では割り切れないから。
無限小数はこういうところが痛いです。

[140] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/30 04:36

>何が起こっても無理です。
とか言われると6進法を提案してみたくなる天邪鬼な私が居るw
>目安のようなもの
その表現は……かなり誤解を招きそうな(汗
0.333...は、「1/3の目安のようなもの」じゃなくて「1/3そのものの十進法による表記」ですよ。
ちなみに、無限小数を用いる事で全ての有理数は十進法で表記可能になります。
また、有限小数も「0」が循環しているとして無限小数の一種として扱えます。

[141] 南溟道人 2007/03/30 15:07

>>140
有限小数は表記法が二つある点が無限小数とは異なると思います

>ほちゃほちゃしてる?さん
将棋で駒の動かし方が決まっているのと同じく、
数学にもルール(公理)があります。

数学のルールでは
A=B または A≠B
A-B=0⇔A=B
例外はありません。

また、次のような公理もあります。

全てのA、Bについて
A×B、A+B、A−Bが一義的に定まる
B≠0のときを除いて、A÷Bが一義的に定まる

>>68
>1=0.999......これは数学的にはOKだということは承知のこと。
>しかしその背後には
>1と0.999・・・・・は等しくは無いが
>0.99999....を1とみなしてよいとしているだけである。

こんな議論は、現在算術として知られている公理系では
全く成り立ちません。

[142] Katz 2007/03/30 16:00

うむ〜
思ったより長引きますな。

>>140
> とか言われると6進法を提案してみたくなる天邪鬼な私が居るw

わはは(^_^)
20分間とは0.333…時間の事です、とか☆

1=0.999…は、「これが正しいと言えるのが実数です、そう定義しました」
というのが究極的な答えですね。
従って、論理展開としては、1=0.999… を認めるか否か? と疑問が出たときに
「等しいと認めよう、それが実数だ」という順番になるかと思います。
高校生以下も普通に参加しているようなスレではあんまり明言したくない話ですが。

更に言えば、1≠0.999… とする数の理論もあります。
しかしそれは実数ではありません(参照: 超準解析とかConway数とか)
但しそういうのは大学の数学科で専門教育を受けないと出てこないような内容です。
つまりそのくらい特殊な話になります、と。

※念のため言っておくと、そういう理論は、まず 1=0.999… の話を徹底的に叩き込まれて完璧に理解してから、その次に教わる話になります。

[143] BERRY 2007/03/30 16:18

/*
無限(循環)小数…例えば、
4523/9999 = 0.(4523)

また、「分数」は数そのものではなく
計算式と捉えることもできますね。
すると、全ての有理数は「除算の形」と
「実際の値」を持つとか思ったり(^ω^)
つまり、=>>140 ですね。
*/

公理系を一部変えてもある程度無矛盾な論理体系ができることもあるので、
1 ≠ 0.(9) もそういった立場ならばアリでしょうと思います。
公理を変えてしまえば、、笑

[144] emu 2007/03/30 16:26

この話、結局量子物理学と高等数学の騙し合いみたいな感じに終わるんですかね。

1=0.999…を認めるかぎり、四則演算等式公理の法則により、1−0.999…=0を認めなければ
いけなくなる。それと同時に、量子物理学の先端分野である超微粒子の存在(エーテル?)が
「現れたり消えたり」(0.000…1になったり、0になったり)することと反発することになる。
つまり物質とは、無の世界を含むのか(無の世界からできた物質なのか)、という逆命題を
迫られる(量子物理学から数学へ)のである。

[145] emu 2007/03/30 16:31

>>144
含むなら4次元以降の世界が時間精神によって数学的に測れる、ということを意味し、含まない
なら3次元止まりということになる。

[146] Katz 2007/03/30 17:14

>>144
いえ、だから、量子論と数学とは無関係です
(と言うと語弊がありますが、ここの文脈で解釈してください)

物質を細かく分割していくと…って話はせいぜい分子止まりです。
それ以上細かく分割すると元の物質からは離れていってしまいます。

そこでやめずに無理に分割していっても、
やがて「それ以上分割できない」という存在に突き当たります。
・分子は原子の集まり
・原子は原子核と電子の集まり
・原子核は陽子と中性子(と中間子)の集まり
・電子や陽子や中性子(や中間子)は素粒子の集まり(確か3個でしたっけ?)
・素粒子は、今のところ、その中身についてはわかっていない

素粒子が真空中に現れたり消えたりする現象は、
このスレで問題になっている 0.000…1 という数とは関係無いです。

[147] emu 2007/03/30 17:33

>>146
無関係という以上、少なくともどちらが学問的優位に立ちうるか、くらいはいえますよね?

宇宙がある一つの極点から爆発したという「ビックバン」も、量子物理学の物質変転性から証明できる。
ならば、現在拡大しつつある宇宙が、今後何かの「拍子」に縮んでいく可能性もある。

だから、数学が3次元物質界を表象するのに、数を用いて証し立てるのならば、この「物質界の法則」が
「厳密に」前提された上でなくてはならない。少なくとも物理学の相対性原理の法則(光速度一定とした
場合、速さの等しい両者が同じ方向に進んだとした場合、常に距離は一定))やエネルギー一定の法則
(E=mc^2)などは数学的に関連があるはずであり、両者が入れ替え可能である以上、学問同士はお互いの
絶対法則を無視してはならない(この場合0.999…を1としてはならない)。

[148] 南溟道人 2007/03/30 17:43

>>146  Katzさん
>量子論と数学とは無関係
この意味は
1 量子論はすでに実数を用いて記述されていて、
1≠0.999…の公理系が新たに立てられても変更されない
2 物理的世界とイデアの世界とは独立している
という趣旨でしょうか。
それにしても、1≠0.999…の人は本気で言っているのでしょうか?

>>144  emuさん
0.000…1のような擬似概念と、リアルの量子を結びつけた説には
意表はつかれましたが…
>>144 の エーテル とは溶媒ではなく光の媒体の方でしょうか…
>>145 の >時間精神 とは何ですか?

 

[149] 南溟道人 2007/03/30 17:53

>>147
>無関係という以上、少なくともどちらが学問的優位に立ちうるか
囲碁と剣術とどちらが優位ですか?
>数学が3次元物質界を表象するのに、数を用いて証し立てるのならば、この「物質界の法則」が
「厳密に」前提された上でなくてはならない。
数学が直接扱うのは、数直線やユークリッド空間のようなイデアの世界です。
>物質界の法則 は実証的に明らかになるので、議論の最初から
>「厳密に」前提 されません。

>(この場合0.999…を1としてはならない)。
相対性理論は実数で記述されているので1=0.999…を前提にしていますよ??

[150] emu 2007/03/30 18:30

>>149
たとえば「相対性理論」における光速度一定の前提を超える「霊速」があれば(精神速度(4次元以降)が
あれば)、その3次元法則(速度=時間/距離やE(エネルギー)=m(物質)c(光速度)^2)は変更されうる。
たとえば「ビッグバン」「超微粒子論」「光の屈折(ブラックホール)」。

まあ、0.999…=1と0.000…1=0を同じ公理であると理解できないかぎり、推定不能だと思いますが……

[151] 落ち武者 2007/03/30 18:36

いい電波出てますね。

>まあ、0.999…=1と0.000…1=0を同じ公理であると理解できないかぎり、推定不能だと思いますが……
じゃ結局0.999…=1でいいってこと?

[152] k・a・i 2007/03/30 22:45

あの、流れ断ち切るようですみませんがそもそも 0.999… って表記の意味がよくわかりません。
1とイコールかどうか議論しているってことはすくなくとも小数点以下に
9を無限につづけた場合の極限値っていう認識じゃダメですよねぇ?

[153] BERRY 2007/03/31 00:20

>>150
物理的な「次元」と数学的な「次元」は違いますよ。
そもそも数学は、現実に近いモデルを理論で構築してるに過ぎないと思うのですが…

>>152
それでいいと思います。
むしろ、一般的には極限値として定義されます。
だからスレタイは定義から明らかなのです。

[154] keita 2007/03/31 07:35

>>144 >>147 は、興味深い電波を出している気がしたのだけれど、
何で >>150 になってしまうかな。それじゃ、単なる「症例」だよ。

>>144 を勝手に解釈すると、
量子的揺らぎを含む物理計算をするときに、波動方程式をいじらなくても、
四則計算っぽい操作をするだけで完了してしまうような代数系を構成してみろ、
できるかゴラァ という話に見える。
私には「できない」けどね。

[155] 南溟道人 2007/03/31 19:48

>>150
意味がわからん
>精神速度(4次元以降)とは?
仮にそれがあったとして、0.999…=1の真偽と何の関係が??

[156] メシスト 2007/04/01 02:40

>何が起こっても無理です。
とか言われると6進法を提案してみたくなる天邪鬼な私が居るw

あ!!六進法ですか!!!
では、「十進法で」という事を付け足して・・・

>目安のようなもの
その表現は……かなり誤解を招きそうな(汗
0.333...は、「1/3の目安のようなもの」じゃなくて「1/3そのものの十進法による表記」ですよ。
ちなみに、無限小数を用いる事で全ての有理数は十進法で表記可能になります。
また、有限小数も「0」が循環しているとして無限小数の一種として扱えます。

う〜ん・・・どうも言い方に言葉を選んだんですが・・・
循環する→割れない→小数に限りが無く正しい値を得れない
→表記するのは0,33333333・・・
という事で多少1/3とは誤差が生じるので
(1/3)・3=0,333333333333333・・・・3
      ↓
1=0,99999999999999999999・・・
という事ではないかな・・・
と思ってみた私・・・

[157] quatre 2007/04/01 06:04

>>154
いや、そうではなく、たとえば\\lim_{x→0}でべき級数を「解釈」すれば
1-(1-x)=x=0でありつつも、(x-x^2)/x=1-x=1のようにx≠0である
という意味でも取れなくはありませんよ。
もっとも、気持ちdxを0.000...と表記するのはどうかとは思いますがね
(0.000...1と0.000...10の関係が気持ち悪いので)。
その場合、0.333...云々という記号の表現するものは実数ではないので
その意味でもどうかとは思いますが。

0.333...3って、3の位置をω+1だと考えればある意味ありえますね。
極限順序数ではありませんが。

[158] カンクロウ 2007/04/01 11:24

数学的には等しいと見なせる。
言葉的には等しく無い。

で良いんじゃないの?

[159] 南溟道人 2007/04/02 14:01

>>157
>0.333...3って、3の位置をω+1だと考えればある意味ありえますね
ωとは加算無限ですか?すくなくとも実数としてはありえないし
濃度ωの集合で両端が与えられるのは直観的に不自然です
(左端は小数点があります)

>>158
確かに。言葉としては、1+1 と 2 と 4/2 は異なりますが…

[160] quatre 2007/04/02 18:49

>>159
ωは濃度(基数)でなく順序数です。
ωは自然数の順序であり、1+ωはωですが、
ω+1は0,1,2,3,...にωを加えた集合の順序を表します。
どちらも濃度は可算無限あれふ_0です。

[161] Katz 2007/04/02 21:56

>>148
まぁ、そういう主旨です。
まさに「囲碁と剣術はどちらが上か?」的な意味合いで。

>>158
まぁ、そうなりますか。
但し「みなせる」って辺りが引っかかります。
と、食いついてみる(^_^)

[162] Katz 2007/04/02 22:25

最近ちょっと疲れ気味で、何となく私の言葉にトゲが多い気がしますが、
叩き伏せるような物言いはあんまり私の好みではなく。
ご不快に感じられた方にはお詫びします。

>>150 >>152
そもそも 0.999… という表記で何を表しているのでしょう?
これは>>153 の通りで、数列の極限で理解するのが正しいと思います。
高校生の範囲で言うと次のような感じでしょうか。

X1 = 0.9
X2 = 0.99
X3 = 0.999
Xn = 0.《9がn個並ぶ》 = 1-1/10^n
「0.999…」という表記はこの数列{Xn}におけるn→∞の極限である。

では lim(n→∞)Xn はどんな値になるのでしょうか?
高校数学では「Xnはn→∞において1に限りなく近付く、従ってその極限値は1である」とします。
だから 0.999…=1 です。

「何となく隙間がありそう」という意見も、感情的にわからなくはないです。
私もかつてそのように感じていた頃がありましたし(^_^)
しかしやはり0.999…は1に限り無く近付いてしまうのです。
最終的に隙間があるのでは?という疑問はモットモですが、
「隙間がある」という事は「近付き方に限りがある」事を意味します。
「限り無く近付く」と断言する以上は最終的に隙間が無くなるのです。

実際にどの程度の隙間が開くのかを考えます。
するとどんな小さな隙間を考えたとしても、
ず〜っと先まで行けばその予想よりも更に1に近付いてしまう事がわかります。
つまり、最終的には、どんな小さな隙間も残さずに1に接近する訳で、
言い換えれば隙間は無くなっていると。

ここで問題になるのが今話題の(^_^) 0.000…1 ですが。
実は、そんな変な数は無い、という事が実数の定義で保証されているのです。
(quatreさんがおっしゃってるのは、そのような実数の定義を認めた上で、更にそれを飛び越えた所です)

そのような実数の定義は大学で微積分を教わるまではおあずけです :p
高校生の範囲では出てきません。

[163] emu 2007/04/02 22:48

>>162 Xnはn→∞において1に限りなく近付く、従ってその極限値は1である
結局、この表記の違いの統一証明には、言葉の解釈を用いなければできないですよね?
ならば、1−Xn=0.000…1により、0.000…1=0である、と言えなければならない。
それができないならば、極限値の「絶対」合一は用いるべきではないし、用いた場合の量子学
数式的積算によるずれは、「無限大」に至るゆえ数学は正常な物質的測定には「ずれ」がある、
と認めなければならないのでは?

[164] 2007/04/02 23:22

等しいの意味を携帯の辞書参照してみると

ひとしい【等しい・斉しい】
[意]2つ以上のものが、同じである。

状態が他によく似ている。

[例]長さが等しい・なきに等しい。

「状態が他によく似ている」に注目すると

1と0.999999999…は限りなく近い(似ている)から等しい事になる。

1=0.999999999と言う意味ではない。

[165] 野次馬そのN(N≧1) 2007/04/02 23:39

>>164
その辞書の意味からは
二つの物が限りなく近い(似ている)場合にも「等しい」という言葉が使われる事、
1=0.9999999……でなくても「等しい」という言葉が使用できる、という事は導けても
1と0.9999999……が「似ている」という意味で使われている(∴同じであるという意味では使われていない)と、限定する事は出来ませんし、
1と0.9999999……「限りなく近い」事が1=0.999999……が「同じ」である事とは異なる意味を持つ、という事にも全く繋がりませんよ。

[166] k・a・i 2007/04/02 23:42

>>162 >>153
0.999… はわかりました。回答どうもです。
極限ってことは自分の記憶がただしければあくまでも"近づく値"にすぎない
ので1=0.999… は疑いようなない感じがします。
というかおそらくそこは決着ついてるんですよね。どうもすみません。

とことで次は(話題の?)0.000…1という表記をどう解釈すればよいか悩んでます。

見た目のイメージ的に言うと0.000…1だと"1"が表れる所が最小の位となってしまって
無限につづいていく0.999…とは性質が違う感じがしてしまいます。
なので1−0.999…=0.000…1としてはまずいのでは…

いや、見た目で判断しちゃダメってことですよね^^;

考え直してlim((1/10)^n)*1[n→∞] や 1-0.999… を表しているとすれば
0.000…1=0 でなんら問題と思いますが…

[167] 2007/04/02 23:58

>>165

1と0.999999999…等しいか等しくないかでは等しいと思う。

1=0.999999999…までは主が求めてるとは思わないから出さなくて良いんじゃないかと言う判断なんだが…

[168] Katz 2007/04/03 00:46

>>163
>>162 を最後まで読んでいただけましたでしょうか。
0.000…1 という数は無い、そこまで小さい値は完全に0である、
というのが実数の定義です。
従って(実数の範囲で考える限り)0.000…1=0 と言えます。

>>166
> 極限ってことは自分の記憶がただしければあくまでも"近づく値"にすぎない

近付いて近付いてどんどん近付いて、という状況において
無限の彼方まで見通した時にどこに至るか、
それが極限です。
その意味する所の正確な記述は大学の微積分で出てきます。
悪名高いε-δ論法という奴です☆
ここまで来れば疑問を差し挟む余地は無くなります。

[169] keita 2007/04/03 01:36

>0.000…1 という数は無い、そこまで小さい値は完全に0である
その話と>>157 を比較すると、
実数って、ぴっちり詰まっているようで、そんに詰まっていないんだなぁ
と感じますね。連続体公理を思い出したり。

[170] quatre 2007/04/03 08:44

>>169
直線程度にしか詰まっていませんからね。
どうしてもアレなら、密着位相でも入れたらいいんじゃないですか?

>>168
ε-δは、無限の操作という素朴な直感を排するための手段ですからね。

ところで、0.999...自身が1に「近づく」のではなく、0.999...というのは
厳然たる一つの値であるという認識が必要だと思います。
よく「どこまでいっても9」という素朴な表現がありますが、
この「どこまでいっても」に引きずられて、0.999...という値が
厳然たる一つの値ではなくあたかも変動して1に近づくような値である
という誤解を見かけます。

0.999...が実数であると仮定するならば、
おそらくは0.999...>0.9,0.999...>0.99,...は素朴に認められると思うので、
0.999...≧1を得ます。
0.999...が実数であると仮定しない場合は、定かではありません。

[171] なななし 2007/04/03 11:30

>1 今日び議論する内容ではない
デデキントとカントールが既に実数の定義をしている

と釣られてみる

[172] 野次馬そのN(N≧1) 2007/04/03 12:19

>>167
>1=0.999999999…までは主が求めてるとは思わないから出さなくて良いんじゃないかと言う判断なんだが…
そういう事ならそれも一つの判断だと思いますが、
>1=0.999999999と言う意味ではない。
という言い方では、
「1=0.99999999とは言えない」という断定をしているようにしか見えません。
「〜という意味とは限らない。」とか「〜かどうかは関係ない。」とかだと幾らか誤解の余地が減ってたかな?

[173] bdjm 2007/04/04 09:52

>>158 でいいのでは

[174] 落ち武者 2007/04/05 15:20

数学は言葉でできとるもんじゃけぇ、
>>158 ではあかんやろ。一見折衷に見えるけれども姑息。

[175] Katz 2007/04/05 16:36

>>170
> 0.999...というのは
> 厳然たる一つの値であるという認識が必要だと思います。

なるほど、、、
その辺が誤解(と誤認)の源泉であるというのは確かにありそうですな。

[176] カンクロウ 2007/04/05 18:18

>>161 >>173 >>174 諸氏

数列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを、
数列の極限あるいは極限値と言う。

つまり、数列は「その値(極限値)」に限りなく近づくが、無限遠でしか
到達しない(事実上到達しない)んですね。

「極限値は1」と言う事は、そこに向かって収束し続ける「1に近づくもの」に過ぎない、
と言うのが「極限値」という考え方です。

それを、延々と0.999999999999999・・・・・と続けても
「実質上」意味が無い為、「1と見なせる」という事でしょう。

それを、数学上は、「いこーる1」と処理できますが、極限値という
考え方から見ても、言葉上も、「1に限りなく近づく1ではない数」と
言う事を表現していると考えられます。

と言うことでどうでしょうか(^▽^)

[177] 野次馬そのN(N≧1) 2007/04/05 19:00

あー、誤解が一つあるような。
>無限遠でしか到達しない
「極限値」と言った時点で(少なくとも数学では)その「(有限値では到達し得ない)無限遠での値」という意味になるのですが。

[178] 南溟道人 2007/04/06 16:40

冷静に考えれば、>0.000…1 については、十進表記の原理に立ち返れば簡単です。
10の加算無限乗(=連続体濃度)や、その逆数に対応する数位などあり得ません。

>>160
無限遠点が平面上にないのと同じで、
0,1,2,3,...にωを加えるときは数列の延長上ではなく、外に加えないと
矛盾するように思います。

[179] Katz 2007/04/06 19:53

3人連続で食いつくのもナンですけど(^_^;)
誤解が一つありますね。

> 「極限値は1」と言う事は、そこに向かって収束し続ける「1に近づくもの」に過ぎない、
> と言うのが「極限値」という考え方です。

逆です。
そこに向かって収束し続ける「1に近づくもの」に過ぎない事はわかっているのです。
そしてこの範囲では極限という考え方はまだ出てきません。
この「1に近づくもの」について、無限の彼方の様子に思いを馳せたとき、
初めて極限という考え方が出てきます。

無限の彼方の様子ですから。
その手前、まだ1に近いだけの間は1とは異なるのは当たり前です。

野次馬さんやその前のquatreさんの発言の言い換えになりますが。

[180] おまQ 2007/04/06 22:27

そもそも無限という時点で定数ではないので、値を求めるのは不可でいいんじゃない?

かといって変数でもないか。

[181] かとる 2007/04/06 22:33

>>178
0.333...3を
0.333...
3
の略記として定義すればよいでしょう。

[182] BERRY 2007/04/06 22:53

>>180
「極限値」は定数ですよ。
そして一般的にこの「無限に続く数」は「極限値」として定義されます。

[183] Katz 2007/04/06 23:57

ですな。

>>170 「厳然たる一つの値であるという認識が必要」という指摘が、
やはりここでも生きているような気がします…

無限は一つの値であり「時間をかけて見ていればやがて変動するもの」ではありません。
その意味で定数です。

そもそも「時間をかけて見ていれば」と考える時点でちょっとどうかと。
(数学に物理的な時間概念を持ち込むのは…とかいう意味では無くて)

[184] おまQ 2007/04/07 23:14

>>182

そうなんすか。無知でしたorz

でも、普通に0,999…を
0,9+0,09+…の初項0,9、公比0,1の等比数列でSnを求めると1になるんで…って

低レベルですね。すいません

[185] BERRY 2007/04/08 01:08

>>184
ん?項数が「無限」で定数にならないように見えるって事ですか?
「Sn求めて」は別に間違ってないと思いますけど(*´∨`*)

[186] おま 2007/04/08 04:18

>>185
すいません。自分でもなんのために等比云々のことを持ち出したのかわからないですけども(笑)、
0,999…をSnとすると、Snは一応1に収束することにはなってますが、実際xy平面で
テキトーに(笑)x=n、y=Snなどと置いて表記すると、このグラフはy=1と交わらないようにしなければなりませんよね?

という事は、0,999…≠1ではダメですかね?

[187] 南溟道人 2007/04/08 12:55

>>186
集合としての数列{Sn}は
一般にはSnの極限値を含みません。
もっと簡単な例でいうと
y=1/xの値が0になることは絶対にあり得ません。
数列 {1/n|n=1→∞}は0を絶対に含まないが、極限値は0です。

>Katzさん quatreさん
ε-δ論法はいつごろからあったのでしょうか?
具体的にはどういう内容ですか?
このスレと似た論題で、0で割ることを論ずるものもときどき立ちますが
無限についての概念の混同から来るものが多いと思います。
エンゲルスでさえ0/0とか訳のわからないことを書いているから無理もありませんが…

[188] かとる 2007/04/08 23:32

ε—δは根本的には古くはアルキメデスの時代から存在しますが、形式化したのはワイエルシュトラスだったような気がします。

概要は、任意のε>0をとるとき、常にそれに対応するあるδが存在して、δ以上なり以下なりでは「誤差」がε以下になる、というものです。
「誤差」がいくらでも小さくとれるから、その値以外にはありえないという論法です。

[189] Katz 2007/04/09 00:44

アルキメデスは積分に相当する計算を、取り尽くし法と背理法を組み合わせて行っていたようですね。
具体的にどんな方法かは…ぐぐってもなかなか出てこないので諦めました:(

私の記憶が確かならば。
面積を求めるのに、対象図形を三角形で埋める
→どんどん埋めていけば正しい面積にどんどん近付く
→取り扱いに困る「無限の彼方」については背理法で処理する
こうして、ユークリッドの公理からは導けない「無限」を持ち出さずに面積を証明する事が可能であった…という方法だったかと思います。

[190] BERRY 2007/04/09 01:40

ε‐δ論法って、∞を使わずに極限を説明するんでしたっけ?
∀ε>0,∃δ>0
|x-a|<δ⇒|f(x)-b|<ε(x∈R)
だったかな…
数列ではε‐N論法だった気がします。

//詳しくは理解できません【・ω・】

[191] 昆布マン 2007/04/14 16:22

1と0.99999999・・・・の間の数を言うことができないので
1=0.99999・・・  というのはどうでしょうか?

[192] 南溟道人 2007/04/14 16:58

>>188  かとるさん
>「誤差」がいくらでも小さくとれるから、その値以外にはありえない
実数の性質上、極限値は一義的に決まる、ということでしょうか。

>>189  Katzさん
以前に私が本で読んだのは、
外接多角形≧円≧内接多角形 の前提の下に
外接多角形の面積も、内接多角形の面積も
限りなく円に近づき得るから、円の面積は
半径の二乗と円周率との積以外ありえない、という趣旨のものでした。
背理法の証明ならば、「無限に小さい三角形」という概念がでてこないので論理は厳密ですが、直観的にはごまかされたように見える面があるでしょうか。
円と面積及び周の長さが等しい無限多角形がありえないように、
1とは値の異なる0.99999999・・・・はありえない のだと思います。

>>190  BERRYさん
多分、論理の一部がぬけているのだと思います…
ギリシャ文字の入った式や文は読みにくいですね

>>191  昆布マンさん
それも、正しい証明だと思います。

[193] 2007/04/30 09:52

0.99999999・・・・は飽くまで1に限りなく近い数であって1ではないと思うんだが。

[194] パンク 2007/05/01 17:55

0.333(三分の一)…+0.333(三分の一)…+0.333(三分の一)…=0.999(三分の三)… つまり1だよね?

なんか低脳でごめんなさい。

[195] 火雲 2007/05/11 18:44

>>1 が一番わかりやすいですね。

[196] 無銘 2007/05/13 20:08

1=0.999…を一番簡単に証明するには
1-0.999…=0が出せればいい。
そこで1-0.999…=0.000…=0と出す。

問題は0=0.000…でいいのか?0.000…は限りなく0に近いだけでは?という所。
それについては1-0.999…=0.000…という式の「0.999…」に注目。
0.999…はあくまでも0.999…と9が無限に続くこと表す無限小数。
したがって1-0.999…を計算すると0が無限に続く0.000…という数になる。
0が無限に続く限り、この数は0である。限りなく0に近い数であるためには、
0.000…?(0以外の数)と出なければいけない。(そもそもこんな数の表し方は間違いだが)
これは「0.000…は0が無限に続く数」というのと矛盾している。
そもそも0.000…1とすると、1-0.999…も1-0.999…9と表さないと辻褄が合わない。
つまり1-0.999…=0.000…=0でいいと思う。

重要なのは「『0に限りなく近い数』であるためにはどこかで『0以外の数』がでなければならない。これは『0が無限に続く数』というのと矛盾している。」という所。

やっぱり>>1 のが理解するには一番簡単。

[197] 火雲 2007/05/26 00:12

3×1/3=1

しかしよく考えてください。

1/3=0.3333333333333333・・・・・・・・・3ですよね。

それに3かけると

0.99999999999999999・・・・・・・・・9

となります。

しかし、普通に考えれば答えは1.

つまり1=0,9999999999999999・・・・・・・・・・・9なのです。

[198] BERRY 2007/05/27 15:07

>>197
1/3≠0.333333……3ですよ。
末尾に「3」が来ている時点で有限小数。

上でも述べられていますが、
無限桁後に3が来るというのは御法度です。

[199] BERRY 2007/05/27 15:09

>>198
間違えちった(*´艸`)
「3が来る」じゃなくて「3で終わる」でした(〃>_<)

[200] $パンク$ 2007/05/29 08:28

…つまりケーキとかを完璧な3分の1は無理なのね^_^;

[201] 野次馬そのN(N≧1) 2007/05/29 11:26

>200
普通に三等分出来ますよ?
単に、元の大きさとの比率を「10進法で表そうとすると」有限の桁数に収まらないだけの話です。

[202] Katz 2007/05/29 15:13

ですよね。
丸いケーキを3等分したかったら120度ちょうどで切り分ければ良いのです。
完璧に3分の1です。

[203] sunsar 2007/05/29 18:07

>>200-202
I think that cutting into "perfectly" same piece is unrealistic.
In fact, if you want to do that, then the number of molecule must be a multiple of 3.
Argument such as "√2 is exist or not" is quite nonsense.
If you accept rational number(or at least, decimal fraction),
then there are numbers that approximate √2 for any accuracy.
Now, we write a such number √2+δ, then a result of calculate such as use √2 (we write c(√2)) can replace with c(√2) + ε.
In case ε is small enough, c(√2) + ε can replace with c(√2).

Assume that "Real" things are not "1/3", yet 1/3 is important.

(However, perhaps "essentially" real number is not exist...)
英文としておかしいところは指摘して下さい。

[204] 野次馬そのN(N≧1) 2007/05/30 15:02

英語には自信が無いので、誤読してるかもしれませんが……
分子単位の話をするなら、3分割に限らず「完璧に」同じ大きさに分割するのは不可能でしょうね。
なにせ、構成する分子全種の公約数でしか分割出来ない事になります。
(分子の数が奇数なら2つに分ける事すら無理w)
そして、完璧に分割したと思ったら生クリームの脂肪が一部酸化して再計算というオチが。

[205] emu 2007/05/30 16:20

Wikipedia http://nun.nu/ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E5%80%A4
では極限のことを>>〜数列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは
極限値といい、この数列は収束するという〜>>と記されており(「極限値」はなく、「極限」に
転送されている)、決して「同じ」であるとはいっていない。英語版(「Limit(matehmatics)
http://nun.nu/en.wikipedia.org/wiki/Limit_%28mathematics%29 )では「close」と評されている。
>>「Limit (mathematics)」 In mathematics, the concept of a "limit" is used to describe
the behavior of a function as its argument either "gets close" to some point, or as it becomes
arbitrarily large; or the behavior of a sequence's elements, as their index increases indefinitely.

>>

[206] sunsar 2007/05/30 17:34

>>205
0.999... isn't a sequence nor a series. It's a number.
If we assume that real number must be "complete" "archimedean" "ordered" "field", then 0.999... means exactly 1.

[207] 野次馬そのN(N≧1) 2007/05/30 17:41

>>205
>数列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは
>極限値といい、この数列は収束するという
「その値」とは、限りなく近づく「ある値」の事ですよね?
「数列」は近づくのであって同じ値にはなりませんが、
「数列の極限(値)」は「その値」の事なんだから「ある値」と同じでしょう。
「数列の極限値」は元の数列に含まれる値である必要が無い事に注意。

[208] sunsar 2007/05/30 18:12

We make definition of lim of a real number(R) sequence.

lim n→∞ (a_n) =0 if for any positive number ε,
there exists some number n such that |a_m|<ε for each m>n.

Completeness(of real number) is expressed as follow.
If lim n→∞ (a_n+k - a_n) = 0 and a_n<u(u∈R) for all n,
then there exists a∈R s.t. lim n→∞ (a-a_n) = 0.
(It says "close" at lim.)

Order is a structure. To be exact, ordered assemble(let its oreder ≦) is satisfy follow condition.
1. a≦b, b≦c then a≦c.
2. a≦b, b≦a then a=a.
3. for any a,b, at least a≦b or b≦a is true.

The word "Archimedean" means that
4. for each ε,c>0 , there exits some n that nε > c.

Field is "close" at the four rules of arithmetic,but "ordered field" means more
5. a≦b and c≦d implies a+c≦b+d.
6. a≦b means -b≦-a.
7. a<0 and b<0, then 0<ab.

If assume these condition, find 0.999...=1(or define 0.999...) is a good exercise.

[209] sunsar 2007/05/30 18:14

assemble → assembly
ほかにも誤記はたくさんありそうだ↓↓

[210] takuya 2007/05/30 22:06

話が逸れてしまいますが、"順序体がアルキメデス的"という主張は順序体の言語では書けない気がしますね

[211] sunsar 2007/05/31 00:04

>>210
Field K is Archimedean ⇔ there exists a monomorphism f:K→R which preserves order.

そういう問題ではないのかもしれませんが。

[212] Katz 2007/06/01 11:56

突然の英語大流行はどうした事でしょう(^_^;)

>>203
> I think that cutting into "perfectly" same piece is unrealistic

数学的に "perfectly" same piece であるか、
なんて疑問を持ち出したらモチロン違います。
そもそもそのケーキが数学的に正確に3等分可能であると想定できるような物体なのかどうか。
また仮にそうであったとして、数学的に正確に3等分可能な切断手段はどうか。
切断中や切断後の化学的状況等から、果たして数学的な正確さを維持できるか(>>204 )

というような内容は、発言の前後関係や元々の >>200 の趣旨から国語力で読み取っていただけると…

>>208
この条件だけでは 0.999…=1 は証明できなかったりしませんでしたっけ…?
(ちょっと自信無し)

[213] sunsar 2007/06/01 19:45

>>212
Let a_n=1-(0.1)^n.
For each n a_n<1, and a_n is monotonic (a_1<a_2<a_3<...).
Then there exists lim n→∞ a_n.
In fact, (1-a_n)→0.
If you accept 0.999... = lim n→∞ a_n, then 0.999...=1.

Or, if you accept that
(1) 0.999...∈R
(2) 0.999... > 0.9,0.99,...
then 0.999... must be 1.

単に英語の練習をしているだけですので…。

[214] Katz 2007/06/09 22:45

なるほど。英語の練習ですか。
では私も少し頑張ってみますか…(苦手だけど)

>>213
> For each n a_n<1, and a_n is monotonic (a_1<a_2<a_3<...).
> Then there exists lim n→∞ a_n.

Realy?

…って単語一つだけかいっ(^_^;)

[215] 未完 2007/06/11 15:45

It is puzzling when 1 is made from 0.

[216] sunsar 2007/06/11 19:40

>>214
When a_n<M∈R(n∈N), (a_n) is called "bounded".
Moreover, if assume a_n is monotonic (a_1<a_2<a_3<...),
then lim n→∞ a_n+k - a_n (= lim n→∞ b_n,k) = 0.

If we assume lim n→∞ b_n,k ≠ 0, there exists some(not any) ε>0 s.t.
the order of {a_m|a_m≧ε} is not finit.
(It means negation of
>for any positive number ε,
>there exists some number n such that |a_m|<ε for each m>n.
If #{a_m|a_m≧ε} is finit then there exists max({m|a_m≧ε}),
conflicts the assumption.)
Let c_n,i = b_3n+i,k (i=0,1,...,k-1). For some j, #{n|c_n,j≧ε} is あれふ_0. …☆
(If not, then #{a_m|a_m≧ε}=Σ#{n|c_n,i>ε} is finit, and it conflicts.)
Now we care Σ m=1→n c_m,j = a_kn+i - a_i.
The left side →∞ when n→∞ for ☆ and c_m,j>0.
So assumption was wrong.

[217] 未完 2007/06/12 09:27

It understood. Thank you.

[218] $パンク$ 2007/06/17 10:39

I don't speak English.

久しぶりに来たら英語スレ化してるよ^_^;

話しについて行けない

[219] truely sugerly 2007/06/18 20:18

英語スレ化してるね。
括弧書きが多いし、背理法が入れ子になってるし、
レ点の多い漢文みたいな感じだけれども。

あるいは、数式の誤字
 c_n,i = b_3n+i,k
 ⇒ c_n,i = b_kn+i,k

 Σ m=1→n c_m,j = a_kn+i - a_i
 ⇒ Σ m=0→n-1 c_m,j = a_km+j - a_j
が無ければ、もう少し読み易かったかもしれない。

ところで、k→+∞ に関する補足は?

[220] sunsar 2007/06/21 14:05

>>219
コーシー列の定義ですよ(普通の流派ではありませんが)?

某スレッドの続きはどうなったんでしょうね。

[221] Enzyme 2007/06/21 22:33

確かに「普通の流派」ではないようだ。

普通、数列 a_n がコーシー列であるとは、
∀ε>0, ∃N∈自然数, ∀m,n∈自然数, {(m > n > N) ⇒ |a_m - a_n|<ε} であること。
お好きなWikipediaにも、そう書いてある。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97

これを、>>216 に準じて lim を使って書けば、lim[m→∞,n→∞] |a_m - a_n| = 0 となる。
ここで lim[m→∞,n→∞] は、(m,n) が任意の経路で (∞,∞) に到ることを許す。

>>216 の lim[n→∞] (a_{n+k} - a_n) = 0 では、
それが ∀k∈自然数 で成立したとしても、上のコーシー列の定義と同等にはならない。
(m,n)→(∞,∞) の経路が、n が大きくなっても m-n が有限なものに制限されているからだ。
よって、>>216 だけでは a_n がコーシー列であるとは言えず、
コーシーの定理:「実数は距離完備である」に持ち込んで>>213 を示すことはできない。

lim[n→∞] (a_{n+k} - a_n) の収束が k について一様であることを示せば、
lim[m→∞,n→∞] |a_m - a_n| = 0 と言うことができるが…

[222] truely sugerly 2007/06/21 22:35

あれ?

>>220
某スレの続きは、正直悩んでる。予定していた解説に間違いが見つかった。
コーシー・アダマールにせよ、ダランベールにせよ、収束半径を明示することは避けて、
優級数収束定理あたりから定性的に収束円の概念を出したいのだけれど…
円内の絶対収束は易しいが、円外の発散を示す部分があまりキレイにならない。
そのへんでモヤモヤしていると、つい「絶対収束が収束概念だ」と言いたくなったり、
書店で見かける教科書がコーシーの収束条件から入っていく気持ちがわかったり。

[223] sunsar 2007/06/21 22:53

>>221
ヒント:有界
定義はパッと思いついたものなので、オリジナル(といっても他にどこかにはありそうですが)ですよ。

そうそう、あなたが某所で問題にしていた説得力については
http://philosophy.bbs.thebbs.jp/1181699954/363-
などという大変ばかばかしい話が具体例として挙げられます。
本当にばかばかしいですね。

[224] sunsar 2007/06/21 23:01

あ、そうでもないかも。
割と一回生の時と同じミスをやってる気もするなぁ…。

[225] sunsar 2007/06/21 23:05

sin(log n)
これは失敬。

[226] sunsar 2007/06/21 23:32

>>222
大仕掛けであることを厭わなければ、
1+x+x^2+...を用意して、
1+...+x^{n-1}=(1-x^n)/(1-x)から、|x|<1のとき1+x+x^2+...=1/(1-x)
これが|x|≧1のときは直感的に不成立であることから、
級数が常にある関数に収束するわけではないということを言っておいて、
収束の条件を与えれば…というのが普通でしょうね。

しかし、あれってe^aの定義が分からないんですけどね。
e^√2とか、定義は一体…

[227] あああ 2007/06/22 21:47

等しい=同等=同じ

[228] truely sugerly 2007/06/22 23:50

>>226
それが普通でしょう。
級数を等比級数で近似するのは、要するにコーシーの級数収束条件の考え方で、
これをベキ級数に適用すると、コーシー・アダマールのベキ級数収束判定法が出る。
大仕掛けというより、小手先の技という印象かな。正統派ではあるんだけれども。

多くの教科書がとるこの説明法の気に食わない点は、真っ先に収束半径の公式が
出てくること。下手をすると、収束円より前に収束半径が登場してしまう。
最初に、ベキ級数の収束域が複素平面上で円形となるという定理があって、
次に、その半径をどうやって求めるかという話に進む方が、健全であるように感じる。

 Σ(a_n)x^n は、それが x=r において絶対収束するならば、
 ワイエルシュトラスの優級数収束定理により |x|≦|r| の範囲で一様絶対収束する。
 これより、Σ(a_n)r^n が絶対収束するような |r| の上限を R と置けば、
 Σ(a_n)x^n が絶対収束する範囲は |x|<R で与えられる。
 |x|<R を収束円、R を収束半径と呼ぶことにする。

これだと |x|>R で絶対収束しないことは自明だが、条件収束もしないことを示すのに
少しゴタゴタしてしまう。いまさら等比級数に帰着させるのでは、折角回避したはずの
コーシー・アダマール公式が見え隠れして気分が良くない。

最初、上の補題を
 Σ(a_n)x^n は、x=実数r において単純収束するならば、|x|<r の範囲で一様絶対収束する。
としていた。これが言えるのなら円内の収束も円外の発散も簡潔に導けるが、
無論この補題は正しくない。

[229] 未完 2007/06/24 08:17

1=1
0=0

世の中引っ掻き回すな。
ごちゃ混ぜにするな。

お前らに無の境地は1000年早いわ。
わかったか?

時間が無い。
早くはくじょうするんだ。
いま、決断せずしていつ言うんじゃ。
ぼけ。

[230] 2007/07/07 23:19

数学�の教科書に0.999…=1と書いてある件について(無限等比級数)

[231] こま 2007/07/08 01:13

1+1=2を素直に受け入れたおまいらが

どうして今頃になって0.999・・・=1が正しいかどうかについて議論しているんだ?

皮肉でもなんでもなく、

唐突に思った

[232] 落ち武者 2007/07/08 12:46

まぁ、抽象概念だと割り切って理解しているならその通りなんだが、
1個+1個=2個
のように具体物にこだわって考えていると、
0.9cm≠1cm
0.99cm≠1cm
0.999cm≠1cm
"だから"
0.99999…cm≠1cm
と考えちゃうんじゃない?"だから"がおかしい訳だけれども。

[233] R 2007/07/08 17:32

おまえらまだやってたのかww

[234] こま 2007/07/10 00:39

ここは数学カテじゃなかったっけ・・・・

物理も入ってたの?気が付かなかった

とか皮肉を言ってみる

[235] 雨音 2007/07/10 23:45

>231
1+1=2は演算の問題。0.9...=1は概念の問題。

>245
皮肉になってネェよ。

0.9...=1とする。
整数部分=0 小数部分=0.9...
でも(ガウス記号→)[0.9...]=[1]=1
問題ないとは分かっていても、なぁ。

[236] Katz 2007/07/11 17:30

>>235
「小数点以下切り捨て」したらどうなるんでしょうね。

[237] Except 2007/07/12 23:07

極限値を認められるなら、
0.999・・・・において、9 が循環して n 回現れるとする場合、

0.999・・・ = �[k=1,n]9(1/10)^k = (9/10)(1 - (1/10)^k)/(1 - (1/10))

と表せる。ここで等比級数の公比の絶対値は1より小であり、n→∞(9が無限に現れる)のとき無限等比級数は絶対収束する。

lim[n→∞]�[k=1,n]9(1/10)^k = (9/10)/(1 - 1/10) = 1

以上より、 0.999・・・ = 1 となる。

[238] こま 2007/07/13 21:42

1+1=2は演算の問題。

はぁ・・・・・・

何もわかってないね、こいつは

いやわかろうと努力してないだけか

そんなこと言うために書いたんじゃないんだよ

まぁ荒らしか何かと勘違いして短絡的な結論にいっちゃったんだろうね

荒らしも多いし仕方ないか・・・

>245
皮肉になってネェよ。

これもアンカがとんでるからとりあえず俺へのものと解釈させてもらうと

国語辞典で定義されている皮肉の意味をもう一回見直してこい

と言いたい・・・

[239] 落ち武者 2007/07/13 21:51

まぁ、皮肉にはなってネェな。

そもそも、
>どうして今頃になって0.999・・・=1が正しいかどうかについて議論しているんだ?
自体が的外れともいえる。

問題は、なぜ納得できないのか。どうやって納得させるかだ。
>>238 君ならどう説明する。

[240] k・a・i 2007/07/14 11:11

1+1=2との違いは「直感的に正しいと思えるか」。
理屈云々でなく直感だからどうしようもない。

つまり>>232 だと思う。
物理的なことから枝葉おとして数学的に考察するのはそんなに珍しい事かな?

[241] こま 2007/07/15 04:03

何か軽くスルーされると思っていたが・・・

数学カテって真摯な態度で接してくれるんだね

通りすがりだったのだが

>>238 君ならどう説明する

とか言われたら

「先生、もう帰ってもいいですか?」

とでも言いたくなってきた

何だか俺のせいで波が立ちそうなので、もう立ち去りますよ?

最後に一つだけ言うとすれば

スレチ悪かった

[242] 雨音 2007/07/15 16:23

1+1=2っていうのは公理?
それとも証明を必要とする命題・・・?

[243] Katz 2007/07/16 00:22

>>242
証明を必要とする命題、かと。

[244] keita 2007/07/16 01:15

それが公理であるか定理であるかは、
「2」の定義しだいではないかと。

[245] 火雲 2007/07/16 18:37

【1+1=1】
x=1          とする。
x^2=x        両辺にxをかける。
x^2−1=x−1    両辺を−1する。
(x+1)(x−1)=x−1 左辺を因数分解する。
x+1=1        両辺を(x−1)で割る。
x=1より1+1=1

[246] 火雲 2007/07/16 18:38

スマソ

[247] 雨音 2007/07/16 18:53

スレの主題に話を戻します。

「位の違うものどうしの足し算は、繰り上げの無い限り、
おのおのの位の数字とは独立である」という命題について。
(↑自分で作りました)

0に0.9を足しても0に影響はあたえませんよね。同様に、

0.9に0.09を足しても小数第一位の9は変わらない。
よって0にも影響はない。

0.000....9をたしてもその上の位の9には影響を与えないので、
その順々の上の位にも影響を与えないので0は変わらない。
.
.
.

永遠に続く。

これは有限無限に関係なしに真だと思うのですが、
やっぱりダメでしょうか

[248] 雨音 2007/07/16 18:54

>245
おもしろい

[249] sunsar 2007/07/16 18:55

>>247
やっぱりだめです。

[250] 雨音 2007/07/16 19:07

0.99..=1が成り立つことについては理解しています。
その上で感覚的に納得できない部分を質問している
ことを、一応断っておきます。

どの辺がやっぱりダメなのでしょうか。
影響のないこと(=0)をどれだけ続けても(×∞)
やはり影響がない(=0)ように感じるのですが。

[251] sunsar 2007/07/16 19:10

>>250
>どれだけ続けても(×∞)
がダウトです。
感覚的には、続けるのではなく、一回でボーンとやってしまわなければならないのです。
なんというか、無限列というのは、「書き足されていく」ものではなくて、
「最初から全てがそこにそろっている」ものなのです。

[252] 葉隠武士 2007/07/17 13:01

全部のレスを見ていないので、頓珍漢な答え、お許しくだされ。

1と0.99999999・・・は比較出来ない。

左辺は有理数であるが、右辺は数字ではなく、∞と同じ『状態を示す概念』であるため、=で示すこと自体がナンセンスである。よって、

1=0.99999999・・・

1≠0.99999999・・・

のどちらも正しくはない。

[253] まぐだら 2007/07/17 17:53

( ´ー`)

[254] 落ち武者 2007/07/17 21:37

>>252
流石に直前のレスぐらいは読んで考えろよ。

てか、
>右辺は数字ではなく
とは???

[255] 田中太郎 2007/07/17 21:55

>>252

右辺を無限等比数列の和で表現したのならば、左辺と同じと言ってよい、

と言うことですか?

1=9�(1/10)^n n=1〜∞

みたいに

[256] 葉隠武士 2007/07/17 22:06

>>254>>255

思い付きでしかないが、右辺は確かに数字を使ってはいるが、あくまでも「表現」でしかない。確かに、無限等比数列の和であるから、理論的には=である。

しかし、右辺はどうしても「理論の表現」でしかないような気がする。

「数字」も広い意味では「表現」なんだろうが、

「数字の表現」と「理論の表現」を比べようとすること自体が、そもそもおかしい気がするのだが・・・。

[257] 落ち武者 2007/07/17 22:13

とりあえず、
数と数字は違うわな。数字は表すための記号だから。

左辺は数字なの???

[258] 葉隠武士 2007/07/17 22:17

>>257

間違いなく有理数!・・・数になるのかな?

[259] 落ち武者 2007/07/17 22:22

じゃあ、少なくとも記号と概念をくっつけてるわけではないわな。

[260] 葉隠武士 2007/07/17 22:24

>>259

うん・・・記号と概念をくっつけているのではないと思うが・・・

[261] keita 2007/07/18 00:53

「記号と概念をくっつける」というのがよく判らないが、
数字と数を区別するのならば…
「1」は、
  数字としては一字のアラビア数字、
  数としては「間違いなく有理数」。
「0.99999999・・・」は、
  数字としては8桁の小数と末尾のアヤシゲなてんてんてん、
  数としては Σ[n=1〜∞]9(1/10)^n。
「=」の意味が、数字(文字列)としての比較であれば、
「1」と「0.99999999・・・」が同じでないことは、目が不自由でなければ判る。
数としての比較であれば、値が同じになることは、Σの計算をすれば判る。
>>256
数としての「1」と、文字列としての「0.99999999・・・」を比較することには、
最初から無理がある。
参考: http://www.javaworld.com.tw/roller/page/ingramchen/20061214 雑2

[262] 葉隠武士 2007/07/18 07:31

>>261

だと思う。だから正確に表現するのなら、

lim(1−(0.1)^n)=1 n→∞

つまり、右辺の0.99999・・・を左辺に持ってきて、左辺の有理数の1を右辺に持ってきて、上記の等式に直す、・・・つまりこれにより初めて、理論的だけでなく、表現としての等式=も使えることになる。

広い意味で、文学的な問題やね、これは・・・。

[263] keita 2007/07/18 09:11

なんじゃそりゃ?
A=B ⇔ B=A

[264] 葉隠武士 2007/07/18 09:57

>>263 違う違う!

1=0.9999999・・・で言えば、
左辺は有理数の1、右辺は理論的に1ということ。

だから、Aを1、Bを0.9999999・・・とすれば、B=Aは理論的に正しいが、A=Bは理論的に正しくない。厳密に理論から言えば、

A∋Bでしかない。

[265] keita 2007/07/18 13:37

左辺と右辺の使い分けが俺ルールで、よくわからない。

「0.99999999・・・」が、
 文字列 れいてんきゅうきゅうきゅうきゅうきゅうきゅうきゅうきゅうてんてんてん でも、
 有理数 1 でもなく、
この文字列が表す(表し得る?)概念のクラスを表している
と考えているのであれば、それは「1」についても同様のはずで、
A∋B というより、A∩B≠φ じゃないかな?
「1」も、有理数の1ばかりとは限らないから。

「1=0.9999999・・・」が、そういう話題だとは思わないが。

[266] いもちん 2007/07/18 14:24

1+1分かる人ーーー

[267] 落ち武者 2007/07/18 20:06

>>264
左辺も理論的に1じゃなきゃ一体何なんだ…。
まさか計算するから理論的とかそんな…いや、まさかな。
計算しなくてもイコールはイコールなわけで…。

[268] k・a・i 2007/07/18 23:11

>>262
>広い意味で、文学的な問題やね、これは・・・。
個人的にはそっちのほうが狭い意味じゃないかなと思ってる。

[269] 未完 2007/07/19 02:03

たとえばですね。
コッブに一杯の水を入れたいとする。まぁ、想像してみてください。そのコップが100CCの容量であるとわかっている場合は、色々方法は、あると思います。しかし、容量がわからない場合、どうしますか?
一つの例として、コップを蛇口へもっていき、ゆっくりと捻り、目で水位を確かめながら、コップに水が溜まるのを確かめて、蛇口を閉めたりしませんか?
あと、どの程度でコップに水が満杯になるのか…
0.99999……の後の点々を水滴だと考えてみる なんてのが文学的?とかと言う意味位に捉えてみるのも無きにしも非ず かな?

[270] 落ち武者 2007/07/19 06:22

やはり、(本人は無限のつもりで)有限の近似で、有限回の操作として考えているってことか?
>>170
だな。

[271] 葉隠武士 2007/07/19 06:24

1は論理的も糞もない、有理数の1でしょ。でも0.99999・・・は、初項0.9、等比0.1の無限等比数級の和を表す理論。だから、有理数=理論とすること自体、常識で考えたらおかしい。

[272] 落ち武者 2007/07/19 06:31

な、なんだってーΩΩ Ω
てか、理論か理論じゃないかの判断基準って一体?

[273] 葉隠武士 2007/07/19 06:39

落ち武者さん。判断基準なんて常識以外にないよ。

だって。1=0.999999・・・という等式に、貴方は少しも違和感ない?

有限の有理数と、無限等比数級の和が、何の説明もなく、=で示されることには、誰しも違和感抱くんじゃないの。それが常識でしょ。

[274] 落ち武者 2007/07/19 07:04

常識て。数式は常識で真偽を判断するもんじゃないだろ常識的に考えて。
最初違和感を感じること自体には同意だけれど。

[275] 葉隠武士 2007/07/19 07:14

確かに・・・。これは数学だ。

0.9999999・・・は数字じゃない。理論だ。

[276] 落ち武者 2007/07/19 09:05

だから、どういうのが「数字」でどういうのが「理論」なのよ?
それがはっきりしてなきゃ「数字じゃない」とか言えんでしょ。

[277] 未完 2007/07/19 09:43

>>276
以前にもありましたね。二年ほど前のお話ですが…
分数やら、少数やら、パーセントの数字で、一緒くたで、わかったような気になったことが…いや、でも、私の記憶違いも有り得ますので そうであれば、ご容赦をお願いします。

[278] Katz 2007/07/19 13:48

そういえば…
「自然数は神が作りたもうた。それ以外の数はすべて人間が作った」
って言葉もありましたっけ。
ガウスでしたっけ?

>>271
> でも0.99999・・・は、初項0.9、等比0.1の無限等比数級の和を表す理論。

葉隠さん流に言えば、「〜の理論の結果として求められる数」という言い方が正しいのかな?
と言うわけで 1=0.999… は数=数なので別におかしくはありません。

って、>>264 で似たような事を言ってるじゃないですか〜

[279] 落ち武者 2007/07/19 18:57

>ガウスでしたっけ?
クロネッカーじゃないけ?
ガウスは「整数論は数学の女王」とかなんとか。

[280] 諸葛孔明 2007/07/20 07:41

>>278

いや、数字ではありませんよ。数字列ですな。1は確かに有限で有理数の1ですが、0.99999999・・・は無限という概念を前提にした数字列に過ぎません。

ご納得いただけれませんか。?まだ・・・・。

私は葉隠武士殿から受け継ぎました、諸葛孔明と申します。

[281] 落ち武者 2007/07/20 07:53

変なもん無批判に受け継ぐなよ…
まず数字列として比較するのか数として比較するのかどっちなんだよ。

[282] 諸葛孔明 2007/07/20 07:57

1=0.9999999・・・

で言えば、左辺は数字、右辺は数字列であろう。

[283] 落ち武者 2007/07/20 08:24

いや、そういうことでなく。
つまり、「1と1+0、何が違う?」「字が違う」といいたいのか何なのか。

[284] 落ち武者 2007/07/20 08:29

いま問題にしている
1=0.9999…
に合わせるなら、
1/2=2/4
という式は何が同じだということを表しているか、ということだ。

[285] 諸葛孔明 2007/07/20 08:38

1と1+0について言えば、どちらも有限の概念にもとずく、つまり、具体的に数値の定まってある実数の域であるから、両者を=として、何の矛盾も違和感もない。

ところが、0.999999・・・は、具体的な数値が定まっていない数字列でしょ。数級の理論を取り入れて、収束値が1になる、という数字列でしょ。そういう意味ですが・・・。

[286] 諸葛孔明 2007/07/20 08:47

落ち武者さん

たとえばね

1/3=0.3333333・・・も、本当は正しくない。左辺は数値ですが、右辺は「数字列」であり「少数による表現」でしかありえない。

勿論そんなこと学校では学びませんが(笑)、そこまで言い出したら収拾がつかなくなるから=にしたんでしょうね。

[287] 落ち武者 2007/07/20 09:01

やはり>>170 なのだな。

>0.999999・・・は、具体的な数値が定まっていない数字列
と、言うならば数字列でなく数列だな。
「(数列の)具体的な数値が定まる」とはどういうことか。
例えば数列{1,1,1,1,1,1…}に対し、定まるのは数列の何なのか。

[288] sunsar 2007/07/20 09:18

くろねつけるノ流儀ニ從フナラバ、1/2モ具體的ノ數(數値)デナイト謂ワザルヲ得ナイ。
シカシ、斯樣ナ解釋ハ、當世ニ於イテは否定サレルノデアル。

高木貞治風。

[289] sunsar 2007/07/20 09:19

>は
orz orz orz ...

[290] 諸葛孔明 2007/07/20 11:07

>>287

は質問の意味が分からない

>>288

1/2や1/3を数値でないなどと言ったら、中学生に笑われますよ。(笑)数学以前の常識で考えてくださいな。

[291] 野次馬そのN(N≧1) 2007/07/20 11:14

コトが「実数」で「10進法表記」である、という前提で議論している限り、
1=0.999...
は一片の余地も無く事実です。
(左辺と右辺が可換である事以上に、「=」を用いるのに必要な条件って有りましたっけ?)
1≠0.999...にしたいのであれば、1と0.999...の変換が成立しない事例を出す必要があるわけで……
数字列だの表現だの言い出すよりは、16進法でも持ち出すほうが手っ取り早いでしょうw

[292] 落ち武者 2007/07/20 11:16

>>290
>1/2や1/3を数値でないなどと言ったら、中学生に笑われますよ。
皮肉を皮肉と見抜けない(ry。

>質問の意味が分からない
あなたの中で、
「(数列の)具体的な数値が定まる」とはどういうことを指しているのか。
ということ。
具体的な数値が定まる数列ってどういう数列?

[293] 諸葛孔明 2007/07/20 11:24

>>292

知っていましたよ。(笑)だから私も皮肉で返したのですから・・・。

数列は数値ではないですから、数値に定まる訳がありません。

1=0.9999999・・・
1/3= 0.3333333・・・

も、表現としては間違いと言えますね。

[294] 諸葛孔明 2007/07/20 11:31

>>291

それは不可能ですし、その必要もありませんね。貴方が主張されるのは、あくまで理論的な値においてでしょ。

有限の概念である有理数の数値と、無限の概念を包括する数字列(数列)を、単純に=とする表現自体が、過ちではないかと思うのです。

[295] Katz 2007/07/20 11:36

>>286
> そこまで言い出したら収拾がつかなくなるから=にしたんでしょうね。

わかってるじゃないですか。
とすれば私の疑問も落ち武者さんと同じで、
結局何と何をどの範囲で比較しようとしているのか?
に尽きます。

>>290
常識という言葉を何度か使われているのであえて突っ込みますが、

> 1/2や1/3を数値でないなどと言ったら、中学生に笑われますよ。(笑)数学以前の常識で考えてくださいな。

1/2や1/3が数値の仲間であるというのは、小学校低学年では相当に難しい話です。
小学校時代に叩き込まれているので中学生は数値として認識できるのです。
諸葛孔明さんのおっしゃる常識とはどのような人々の常識でしょうか?
それによっては最初からかみ合う筈の無い議論を延々と繰り返している事になります。

[296] Katz 2007/07/20 11:42

おっと。
どーしても横槍を入れたくなってしまったので、ちょいと失礼します。

>>294
無限が嫌いで有理数の範囲で話をしたいのでしたら、
最初からそう言えばいいのです。
皮肉っぽい言い方の応酬に向かうから話がこじれる。
即ち0.999…は有理数の範囲で意味をなすのか? という疑問なわけですよね。

[297] 諸葛孔明 2007/07/20 11:47

katzさん

「常識」について議論するなら、ここはふさわしくないでしょう。哲学の「哲学自由議論 序曲」というスレに、おこしください。

[298] sunsar 2007/07/20 11:48

まあでも、実際結構な数の人は対角線論法に対してクロネッカーと同じ立場をとると思いますよ。
対角線論法の意味が理解できるならば、1=0.999...も実感を伴って理解できるのですがね。

[299] sunsar 2007/07/20 11:48

>>297
常識について議論するなら、なおのこと哲学ではありません。

[300] sunsar 2007/07/20 11:50

ところで、0.999...というのは有限の文字しか書いてないのに、
なぜ数列であるとか無限列であるなどと主張できるのでしょう?

[301] 諸葛孔明 2007/07/20 11:50

>>296

おっしゃられる通りですね。

[302] 落ち武者 2007/07/20 11:51

私が聞いたのは「数値に定まる」ではなく、「数値が定まる」
つまり、
>0.999999・・・は、具体的な数値が定まっていない数字列

対応する数が定まらないと言いたいんじゃないのけ?

[303] 落ち武者 2007/07/20 11:58

>>269 か。

[304] 落ち武者 2007/07/20 11:58

ごめ。訂正>>269>>296

[305] 諸葛孔明 2007/07/20 11:59

>>300

高校程度の数学からすると、それこそ常識ではないのですか。?

>>302

おっしゃるとうり、定まりません。つまり0.999999・・・は、具体的な数値をもった数ではない、ということでしょうね。

[306] sunsar 2007/07/20 12:03

>>305
常識も何も、常識的には0.999...はある数の表記です。
あなたは0.999...はただの無限列であると主張しているのですから、
無限列とは何であるかなどといったことを明らかにしなければなりません。

[307] sunsar 2007/07/20 12:05

常識であることに関して、
http://nun.nu/www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/decimal0.htm
などを参考のこと。

[308] 諸葛孔明 2007/07/20 12:07

>>306

また定義ですか。?(笑)

定義も何も、「無限列」なんて言葉は、私は知りませんが、「無限に続く数字の列」で良いのではないですか。?

[309] 落ち武者 2007/07/20 12:12

>>305
え。
例えば有理数から無限数列への対応を作れない、ということ?
有理数は無限数列では表せない、と?

[310] sunsar 2007/07/20 12:12

>>308
では、何度も言われている通りの話ですが。

1=1+0の両辺は表現としては異なりますが、
その表現しているものは同じだというのが記号=の主張です。
つまり、1および1+0の指示内容、表現内容が一致するというのが
=という記号の意味です。

それを踏まえて、0.999...もまたある数を表現しているものであると考えます。
これは、もともと自然数だけを考えていたときに、
4/2は意味を持つ表現であっても、1/2や2/3などが意味を持たない表現であったにも関わらず
1/2や2/3に意味を与えたのと類似です。
はじめ1/2や2/3はただ記号的・形式的でしかなかったのです。
0.999...も定義がなければ記号的・形式的ですが、
数学ではそれに意味を与えようとする立場をとるわけです。

ここまではよろしいですか?

[311] sunsar 2007/07/20 12:14

>それを踏まえて、0.999...もまたある数を表現しているものであると考えます。
この主張が強すぎるのであれば、
「0.999...がある数を表しうるとすれば、それはどのような数か」
を考えることにする、と置き換えればよいでしょう。

[312] 諸葛孔明 2007/07/20 12:15

>>309

試みは面白そうですが、無理でしょうね。

[313] 諸葛孔明 2007/07/20 12:18

>>311
で0.999999・・・は、どのような数なのですか。?

[314] sunsar 2007/07/20 12:32

>>313
0.999...という表記の「意味」を考えると、
(1)0.999... = 9×0.1 + 9×0.01 + 9×0.001 + ...
が成り立つように思われます。当然、この時点では左辺の意味も右辺の意味も不明瞭ですが、
この右辺をもとにして考察をします。

ここで、a_n=0.999...9 (←9はn個)とおきます。
これはすなわちa_n=1-(0.1)^nを意味し、またa_n-1=(0.1)^nです。
数列a_nは、nが増えるごとに1に近づくことになります。

ところで、(1)式の右辺をみれば、0.999...はどのa_nよりも大きいとすることができるので、
任意のnについて0.999...>1-(0.1)^nです。つまり、
(2)0.999...≧1です。

(2)の導出仮定を詳しく説明します。
0.999...<1とすると、1-0.999...>0であって、
実数の性質から1-x=0.999...をみたすx>0がとれます。
そうすると、1-x>1-(0.1)^nを満たすことになりますが、これはすなわち
x<(0.1)^nを意味します。
しかし、1,0.999...が実数であることを仮定するならば、
xはある定数ですから、nを十分に大きくとると必ずx>(0.1)^nとなるので矛盾します。
ゆえに、0.999...が実数であるという仮定の上では、(2)式がなりたちます。

[315] sunsar 2007/07/20 12:35

>>310-311 で述べたとおり、>>314 は「0.999...がある実数を表現している」という仮定の上での話です。
次に、0.999...が必ずしも実数であることを仮定せずに、どう結論が導かれるかを考えましょう。

[316] 諸葛孔明 2007/07/20 12:50

>>305

>>304 の数列表現を利用して0.9999999・・・がある数値をもった値ではないことは証明できる。しかしそれが実数かどうかは、実数の定義に依るのではないのかな。(^.^)

[317] sunsar 2007/07/20 12:52

>>316
>>>304 の数列表現を利用して0.9999999・・・がある数値をもった値ではないことは証明できる。
できません。
0.999...は確定値であると仮定しているのですから。

[318] 諸葛孔明 2007/07/20 13:18

>>317

0.99999・・・をある数値をもった数と仮定し、その数値をaと仮定する。

次に、数列b-n=1-(0.1)^n を考える。

b-1=0.9 b-2=0.99 b-3=0.999・・・

このとき、

aはどのb-nよりも大きな値であるから、

b-n<a

が成り立つ。

ところが、

aはある定まった数値であるから、b-m=aとなるmが、必ず存在することになる。
すると、b-(m+1)>b-m=a

となり、aはどのb-nよりも大きいことに反する。

よって、仮定は偽であり、0.999999・・・はある数値をもった数ではないことが、証明された。

[319] 火雲 2007/07/20 13:18

そもそも、どんな計算が0.9999999999・・・・・・・・になるんでしょうかね。

[320] sunsar 2007/07/20 13:21

>>318
>aはある定まった数値であるから、b-m=aとなるmが、必ず存在することになる。
なぜですか?その根拠は?

[321] 田中太郎 2007/07/20 14:26

着いていくのでやっとです。。。

>>320

>なぜですか?その根拠は?

この問いかけの意図を次のように解釈しても良いのですか?

「aはある定まった数値である」としか仮定していないから、極端な話、a=10となる
場合も考えられる。だから、「aはある定まった数値である」ということから、
「b-m=aとなるmが、必ず存在する」とは、言えないんじゃないの?

[322] 諸葛孔明 2007/07/20 14:46

数学理論では言えますね。数列b-nのなかに、aが存在してる訳なんだから、

当然
b-m=aとなるmの存在も仮定しなければなりません。

[323] sunsar 2007/07/20 14:50

>>322
>数列b-nのなかに、aが存在してる訳なんだから、
そんなこと誰が言ったのですか?
有限列の集合の中に、無限列が含まれることはありません。

[324] 諸葛孔明 2007/07/20 14:58

>>323

だから、あくまで仮定をして、その仮定の偽を証明する訳でしょ。

貴方のように最初から真偽を疑っては、数学の証明はできませんよ。

aが存在すると仮定すれば、当然数列b-nのなかに存在する。いわばそのために数列b-nを演繹した訳ですから。そしてaがある数値と仮定した訳だから、とうぜんそれに対するmを考えるのは、数学的に当たり前ではないですか。?

[325] sunsar 2007/07/20 15:01

>>324
b_nの中に存在するということを仮定して矛盾するということは、
aがb_nの中にはないというだけのことであって、
それは一般にaの存在を否定する結論ではありません。

[326] 諸葛孔明 2007/07/20 15:09

>>325

私には貴方の言葉が、正直、悪あがきにしか聞こえませんが。aが数列b-nのなかに存在しないなんていう貴方の言い分、あの0.999999・・・の形を見れば、不自然でしょ。それとも、b-nのなかに存在しない証明でも出来るのですか。?

[327] 諸葛孔明 2007/07/20 15:32

>>317 のsunsar氏の仮定は覆された。0.99999・・・は、数値をもたない、いわば、数ではない。まともな反論は出来ないでしょう。

[328] sunsar 2007/07/20 16:02

>>326-327
1∈b_nですよ。

[329] sunsar 2007/07/20 16:05

まちがえた。1はb_nにないですよ。

[330] sunsar 2007/07/20 16:07

>>326
>>314-315

[331] 野次馬そのN(N≧1) 2007/07/20 16:27

いい加減、数列の極限値が元の数列内に含まれてない事を矛盾と言い張る論法には飽きました。

[332] 未完 2007/07/20 22:18

わかるなぁ その気持ち
含有とするのに、手間取りますねぇ…

[333] k・a・i 2007/07/21 00:07

>>286
>勿論そんなこと学校では学びませんが(笑)
本か何かで読んだのだろうか。
参考までに出典を教えていただきたい。

[334] 諸葛孔明 2007/07/21 04:38

>>333

私はこの議題を引き継いだ段階で、この

1=0.9999999・・・

の姿をじっと見て考えただけなんですよ。数学者でもないから、持論が正しいとは言いません。

ただ、皆さんのご批判や洞察も、私なりには分かるし共感できる。ただ、スレの議題にこの

1=0.9999999・・・

があるってことは、この等式について、まだきちんとした定説見たいなものがなく、疑う余地があるってことだよね。

ならば、どうせ疑うなら、誰かの知識を借りて、虎の威を借りる狐になるのではなく、自分の頭で疑おうとしただけ。だから、文献なんかありませんよ。

私は葉隠武士氏から>>252 を引き継いだときに、氏はあくまでも疑わしいが「一つの自分の意見」として提示したが、こんなにも反響があるとは思わなかった、と申しておられました。

つまり、このスレ議題は、まだまだ疑う余地ありってことですよね。ならば、大いに議論すればいいと思います。

それと、私の意見に対して>>331 見たいな、「考えることを放棄した投げやりの態度」は、あまり感心しないな。「飽きた」とこの掲示板に書き込むなら、それなりの「理由」というものを、同時に書かなくてはならないだろう。それが、ここに書き込みをされる人間の、責任というものではないのですかな。

[335] 火雲 2007/07/21 11:56

x = 0.999……——�
両辺を10倍して
10x = 9.999……——�
�−�
9x = 9
x = 1
よって
x = 0.999…… = 1

でいいんじゃないか。

[336] Katz 2007/07/21 15:31

おっと。すごい勢いで話が進んでますな。

>>334
> この等式について、まだきちんとした定説見たいなものがなく、疑う余地があるってことだよね。

実は、ありません(断言)
疑う余地は無いんですよ。

但しそれを理解するにはかなり高度な知識が必要になります。
だから何度と無くスレが立ってしまうのです。

この件について反論をすべて叩き伏せるほどしっかりと厳密に議論するには
大学教養程度の数学知識が必要になります。
その片鱗は高校の後半くらいに教わります。

常識を嫌い、しつこいくらい定義を明らかにしようとするのもその一環です。

[337] 諸葛孔明 2007/07/21 15:58

>>336

おぉそうでしたか。(笑)それは失礼しました。>>335 の火雲さんの絶妙なる証明を堪能して、レスする気力を、もぎ取られてしまってましたからな。

どうやらこの孔明(笑)白旗を降って、山を降りるときが、来たようです。(笑)

皆さん!お騒がせして申し訳無かった。!

[338] メシスト 2007/07/21 22:14

そういえば、
1/1
等の1になる数をを敢えて割り切らなかったら
0,999999・・・
になりますよね〜^^;

[339] メセナ 2007/07/23 16:23

へえそうなんや

[340] あほか死ね 2007/07/28 00:56

【審議中】
      このスレどう思う?   ん〜
             ∧,,∧  ∧,,∧
           ∧ (´・ω・) (・ω・`) ∧∧
カスじゃない?( ´・ω) U) ( つと ノ(ω・` )糞スレかな?
          | U (  ´・) (・`  ) と ノ
           u-u (l    ) (   ノu-u
               `u-u'. `u-u'
            滓スレ?  基地外スレ?
【審議結果】

パッ   パッ   パッ    パッ   パッ    パッ
[糞スレ] [糞スレ] [糞スレ] [糞スレ][糞スレ] [糞スレ]
  ‖∧∧  ‖∧∧ ‖∧,,∧ ‖∧,,∧ ‖∧∧  ‖,∧∧
  ∩・ω・`).∩・ω・`)∩・ω・`)∩・ω・`)∩・ω・`)∩・ω・`)
   (    ). (    ). (    ) (    ) (    ) (    )
   `u-u´  `u-u´   `u-u´  `u-u´  `u-u´  `u-u

[341] 2007/08/05 00:53

1/3 = 0.3333・・・

ってことで

1/3 * 3 = 0.3333・・・ * 3
1 = 0.9999・・・

じゃだめなんかぁー?

[342] ミニ1 2007/08/10 12:03

1=0.9999999999999999ではないです。なぜなら、数字が違うからです。失礼します。

[343] 野次馬そのN(N≧1) 2007/08/10 12:50

そりゃ、勝手に桁数を有限にしたら、違う数になる(事もある)でしょう。
0.999999と0.9999999
が違う数であるのと同様、
0.9999999999999999と
0.9999999999999999……
は違う数であり、
1=0.9999999999999999……
である以上、
1≠0.9999999999999999
です。

[344] ミニ1 2007/08/10 13:30

こんにちは、野次馬さん。何で、

1=0.9999999999999999……
である以上、
1≠0.9999999999999999
何ですか?

[345] 野次馬そのN(N≧1) 2007/08/10 14:55

不用意に必要なところを削らないでください。
> 0.9999999999999999と
> 0.9999999999999999……
> は違う数であり、
具体的にはこの二者には
0.00000000000000001
という差があります。
事が実数についての話である限り、
1−0.00000000000000001≠1
に異論はありませんよね?

[346] ミニ 2007/08/10 23:15

私は貴方の答えが、正しいと思うのですが。 そこで正しいと言って終ったらさらに詳しい所に行き着かないんですよ。

[347] k・a・i 2007/08/11 01:00

>そこで正しいと言って終ったらさらに詳しい所に行き着かないんですよ。
すばらしい姿勢だ。応援するよ。

[348] BERRY 2007/08/11 16:45

>>346
詳しい証明なら、極限とか…

それとも「数とは何か」まで考えようとしてるんですか?

[349] チーズ 2007/08/11 18:00

ゆがんだ空間で等間隔の数値は存在しない・・?

[350] keita 2007/08/11 23:00

>>349
距離は捨象されていても、位相が定義してあれば、
連結か否かくらいは考えられるでしょう。

[351] チーズ 2007/08/12 19:47

>>350
距離が無限に分割できる空間は存在したとしても
 それは地球上ではないでしょう。
 地球上では理論的に無理でしょう。

[352] 通りすがり。 2007/08/14 03:02

1=0.999... か、1≠0.999... は、その数学の「決め事」で、
どちらでも数学体系自体は成立するとの話を聞きましたが、
まだ勉強していないので、詳しいところはなんとも言えません(笑)。
それまでのトレーニングがてら書き込んでみます。

1=1/3×3を使った1=0.999...の説明は、誤り。
簡単に言えば、1/3×3≠0.999... ということ。

1/3とは、元々、「3つで1となる数値」という意味。(定義)
(1ワル3でも可。)
よって、1/3=0.333... と表記は出来るが、これに3をかけたときを、
0.333...×3=0.999...
と表記するのは誤りで、
0.333...×3=1
と、いきなり1にするのが正確な表現。
よって、この手法は、1=0.999... の説明とはなり得ない。
(0.999...は出てこないから)

もっと端的に言えば、「繰り上がりを忘れている計算途中の式」
ということ。
1/3という意味での0.333...に3をかければ、「最後が繰り上がって」
当然、1になる。
そうでないと、定義と矛盾する。
(というか、「繰り上がり」という加法の基本法則?に違反する。)

他の1=0.999... の説明も、無限の取り扱いを曖昧にしたり、
自己言及で「そう決めたから」という事になっている気がします。

なので、やっぱり「その時の決め事」の類になるのでしょう。

[353] BERRY 2007/08/14 03:39

>>352
あたし環とか体とかまではよく知らないけど、1/3は「3の逆数」つまり
演算「×」について、3×a = 1
となる実数a、という定義でいいんじゃないですか?除算は乗算の逆演算として定義されていた気がします。

ただ、「1/3×3」についてはその通りで、証明ではありません。
しかし「同じ数に複数の表記」を示す好例だとは思います。「誤り」とまではならない気がしますよ。

> 無限の取扱いを曖昧に
いいえ、無限等比級数を使った「証明」です。また、無限小数自体、この無限級数の極限値として定義されてる(んだっけ)ので、
普通(高校数学くらい)は「定義から自明」なんですね。

ただ、「無限とは」「数とは」まで深めるともっと厳密になりますが。
あまり詳しくないですが、スレタイで「=」となる体系も「≠」となる体系も
独立して存在できるそうです。あたしにはもう分からん

[354] 通りすがり。 2007/08/14 04:46

BERRYさん、はじめまして。
レスありがとうございます。

Wikiにいろんな解説がありますね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E

中程の「無限小」のところに書いてあるように、

 (1) 「3つで1となるもの」という意味での 1/3=0.333...
 (2) 「3が無限に続くもの」という意味での    0.333...

この2つは小数点表記は同じだが、数学的意味として異なるもの、
という超準解析の立場の方が、私にはしっくり来ますので、
これを支持したいと思っています。(笑)

「誤り」というのは、確かに少し言い過ぎだったかもしれませんね。
「無限の取扱いを曖昧に」というのは、例えばlimなど、最初に
極限をそう扱うことにする、と決めているものを使って説明されても、
「いやあ、最初にそう決めたんだから、そりゃそうでしょ」
というような自作自演の説明になっている、という意味です。

結局は、リーズナブルだったり、いろいろ有益な表記法が
社会の支持を得ていくのでしょうが、無限小の存在を認める方が、
最終的には支持を得るような気がしますが、どうなるでしょうね?、、、、

[355] BERRY 2007/08/14 11:58

だから双方が独立にと(ry
一般的な方も自作自演とか言われたら、過去の数学者たちが泣きますね。

[356] keita 2007/08/15 01:42

超準解析の立場で1≠0.999...とする場合にも、
この式の「≠」は「異なる超実数である」という意味であって、
依然として、超実数1と超実数0.999...の実数部分は等しい。

例えば、「実数としては等しい」を「=」、「超実数として等しい」を「==」
と書く記法を考えれば、超実数論においても
「1=0.999...であるが、1==0.999...ではない。」と書かれることになる。

これは「=」という記号で何を表現するか?という「決め事」の違いだが、
定義の問題というよりは、記法の問題だと思われる。
(これを「記号の定義の問題」と言えなくもないが、
それこそ「定義」という語の定義の違いでしかないだろう。)

>>354
>極限をそう扱うことにする、と決めているものを使って説明されても、
>「いやあ、最初にそう決めたんだから、そりゃそうでしょ」
>というような自作自演の説明になっている、という意味です。

という意味では、

>>352
>1=1/3×3を使った1=0.999...の説明は、誤り。
>簡単に言えば、1/3×3≠0.999... ということ。

以降の説明も、やはり
「いやあ、最初にそう決めたんだから、そりゃそうでしょ」
というような自作自演の説明になっている。

証明された定理が正しいか否かは、証明系(公理と推論規則)が正しいか否かに依り、
証明系が正しいか否かは、その証明系では証明できない
という意味では、全ての証明は

>「そう決めたから」という事になっている気がします。

とも言える。しかし、そのことを「自己言及」と呼ぶのは、
単に「私は数学の立脚点を認めない」という主観の表明でしかない。
数学の存在を拒否するなら、数学上の議論が意味を為さなくなるのは
自明かと思う。

[357] keita 2007/08/15 01:45

>>356 は、少し長かった。短く要約すると、
「記号は定義してから使え。」

[358] 通りすがり。 2007/08/15 02:56

超準解析の立場で「等しい」とするものと、
従来の一般的な立場で「等しい」とするものとは、異なる、
というのはその通りだと思います。
将来的には、前者の方が「一般的」とされていくのではないか?
とは思っていますが。(しっくりくるからね(笑))

>全ての証明は
>
>>「そう決めたから」という事になっている気がします。
>
>とも言える。しかし、そのことを「自己言及」と呼ぶのは、
>単に「私は数学の立脚点を認めない」という主観の表明でしかない。

そういう意味ではなくて、単純に、「そう決めたから」という事が
根拠のポイントであるのに、等比数列の和を使ってみたり、
極限値を使ってみたり、冗長(不適切?)な説明が多いな、と。
例えば、極限値を使った証明をいくら説明してみても、
極限値の定義が違えば、1≠0.999... になるんだから、
そこをポイントに説明しなければ、
わからない人に理解をさせるのは難しいのではないかと。

従来の一般的な立場で、1≠0.999... を証明できると嬉しいですがね、、、

[359] sunsar 2007/08/15 04:25

で、結局その「無限小」には実数であること、言い換えると
その「無限小」を含む集合が直線と同相であるような集合であることは
要求しないんでしょうか?

超準解析などといわずとも、ランダウのオーをはじめとする
微小量のオーダーという概念があれば、1≠0.999...を主張することができますが、
その場合たとえばその体系が体であることを放棄したり
その他いろいろな実数の性質を放棄することになります。

>この2つは小数点表記は同じだが、数学的意味として異なるもの、
という言葉遣いはあまりにおかしいので、やっぱりもう少し勉強してから
いろいろ発言したほうがよいと思いますよ。

(ほかにもたとえば、>>352 でまず突っ込むべきは
>1/3=0.333... と表記は出来るが
の表記の可能性だったりするので(0.333...という表記の正当性は
0.333...×3=0.999...と同程度の素朴な計算に基づくから))

[360] 341 2007/08/18 08:39

>>352
もし「1/3=0.333... と表記は出来る」が
正しいことだとしたら

1/3 * 3 = 0.333... * 3

の証明は正しいとされるんじゃないでしょうかね?

[361] 森あけみつ 2007/08/18 10:21

まだやってんだね。この議題

[362] k/2 2007/09/03 13:29


>>361 殿

飽きたのでしたらコレどうぞ

1と0.999・・・・・・は等しいのか?に、ちなみまして

無限の1パーセントは無限に等しいのか?

[363] 2007/09/03 18:14

o.999…=aとおく
10a-a=9a
aに0.999…を代入すると
9.999…-0.999…=9
∴9a=9
a=1
∴0.999…=1

[364] ええ 2007/09/14 16:53

数学的に等しくないっていってる奴はバカか?
0.999..と1はまったく完全に寸分の違いもなく1 に等しいわけ。
つまり、"0.999..." という記号は "1" という記号が表すのとまったく同じ数を表現しているということ。

[365] 江田島平八 2007/09/15 00:41

>>364
お前の方が馬鹿である。値が等しいからといって、同じ数値とは言えんだろ!!断定するな!!この馬鹿!!

[366] keita 2007/09/17 13:18

同語反復の好きな人が多くて、いったい何なんだか。

"0.999..." という記号が "1" という記号が表すのとまったく同じ数を表現している
か否かは、"0.999..." という記号の意味をそのように定義したか否か次第であって、
そうではない実数論もよく知られている。

一方、
記号の表す値が等しいことを、"同じ数値である" と言うのである。
「普通の」実数論とその表記法では、
"0.999..." という記号は "1" という記号と同じ値を表示している。

どっちもどっちだが、つまるところ… ××につける薬は無い。
これは、断定できる。

[367] しんや 2007/09/20 07:14

0.999・・・と1との違いは0.000・・・なわけで、いちよう0.000・・・の最後に1があるとしても、そんな数字のものは現実には存在しない。なので、存在しないものを0とするなら1=0.999・・・といえるわけで、現実に存在しないものを0と考えられないのなら、またはそれでも存在すると思うのなら、その人にとっては↑でなくてもいいと思う。
私は0=0.999・・・だと思っています(0.999と0は違う数字だとは思いますが まあ、それは見た目、感じ方のせいかな
なんか、説明へたですいません。

[368] しんや 2007/09/20 07:16

いな、1=0.999・・・だと思っているでした。

[369] Conclusion 2007/10/04 02:22

悪夢はまだ続くのだろうか・・

[370] the21023 2007/10/04 12:44

0.999......は9が無限に続くのだから、
1-0.999......の最後に1なんてあるわけがない。

そもそも0.00000.....0001(この.....は有限個の0)という数字確かに存在する、というか定義されている。

ということで、矛盾がおきないよう0.999.........を定義すると0.999......=1になる、という話であるだけで、
その定義が気に入らないなら自分で他に数についての体系を作ってしまえばいいじゃないの。

って話なのかな、と××な私が考えてみた。

[371] ゆきのすけ 2007/10/17 12:54

1だけ読ませてレス。

1/3=0.33333...
両辺に3をかけると
1=0.99999...

[372] aki 2007/10/17 13:27

スレをまったく読まずに(ry

0.99999999999999……=1

……99999999999999.99999999999999……=0?

……99999999999999=-1?

?

[373] the21023 2007/10/17 17:11

>……99999999999999.99999999999999……=0?

[374] aki 2007/10/17 17:22

……99999999999999×……99999999999999=……000000000000001
……99999999999999+2=……000000000000001
……99999999999999=-00000000000001(≠-1?)

[375] ゆきのすけ 2007/10/17 18:14

99999999999999.99999999999999
この間の小数点は何ですかいな。

[376] aki 2007/10/17 18:49

小数点です。

[377] sunsar 2007/10/17 20:27

�p^n=1/(1-p)

...111=�10^n
...999=(1-10)�10^n
...999=-1

?

[378] sunsar 2007/10/17 20:28

1-10→10-1

[379] ゆきのすけ 2007/10/17 21:09

>>376
じゃあ
99999999999999.99999999999999……=0
は違うんじゃあ

[380] sunsar 2007/10/17 21:21

....999.999...
+...999.999...
--------------
....999.999...

[381] aki 2007/10/17 23:11

数学をちゃんとやってないものの浅知恵ですまん。
0.999999……=1なら
……99999999=-1
なのかな、となんとなく思っただけです。
誰か教えて。

>>379
>99999999999999.99999999999999……=0
じゃなくて、
……99999999999999.99999999999999……=0
のつもり。あってるかわからんけど。

[382] ゆきのすけ 2007/10/17 23:39

どっちにしても合わないじゃないですか。
0というのは何もないんですよ。

[383] aki 2007/10/18 00:00

……8923892.2047216……+……999999.9999999……=……8923892.2047216……
よって
…………999999.9999999……=0
かな?

[384] keita 2007/10/18 02:08

ちゃんとやってないも何も、ある程度知ってないとその発想は出てこないでしょう。
素朴に考えると、1-0.9, 1-0.99, 1-0.999, 1-0.9999, … の行く先はとても小さいが、
1+9, 1+99, 1+999, 1+9999, … の行く先はやたら大きくて、あまり無視したくはならない。

……9999999999.9999999999…… という表記を、普通の Σ[k=-∞〜+∞] 9・10^k ではなく、
a_k = 9 (k=-∞〜+∞) という数列に、あるルールで整数値を対応付けたもの と捉えると、
a_k の値が 0 になるようなルールも考えられる という話です。

ただし、この a_k が棲む世界は、普通の整数とは違い、大小比較が意味を持ちません。

[385] sunsar 2007/10/18 08:33

>>384
_____0
____-1
______
...999

意味を持たないというよりは、普通の大小を包含する関係ではない
という方が正しいような気がしますが。

[386] aki 2007/10/18 22:01

ほう、正直よくわからん

[387] 心の非季 2007/10/26 05:56


正3角形
正4角形


正n角形


正∞角形




「いくら頑張っても永遠に円にはならない」

—————————————————————————————————

無限大ってのは、こう↑いうようなイメージではないってことなのかな!?

—————————————————————————————————

1÷3=0.33333・・・・・・・・・・

「永遠に書き終わらない」ってのが、「永遠に『1』には成りえない」ってイメージとダブってしまって・・・・・。

[388] 心の非季 2007/10/27 22:52


訂正。

「 永遠に書き終わらない 」 ってのが、 「 永遠に 『 1/3 』 には成りえない 」 ってイメージとダブってしまって・・・・・。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

そもそも、「0.33333・・・・・・・・・・」って表記や、「無限に 『 3 』 が続く」という表現が、
定数を意味してると捉えることの妥当性はどうなのか。

結局は、「1/3=0.33333・・・・・・・・・・」ありきの議論のような気がしなくもない。

ただ、「1」と「1.00000・・・・・・・・・・」は、明らかに「相等」であるように思うけど・・・・・・。

[389] Katz 2007/10/28 00:01

>>388
表記の問題だけを追及すると。
私の記憶が確かならば、小学校で「0.333…」を習った時には
・繰り返す部分を「3回」繰り返して書く、
・その後に点・を「3回」書く
と教わりました。教科書にもそのように書いてあったはずです。
今はどうかわかりませんが。

その「定義」に従えば、4回も5回も繰り返したりやたらと点を多く打ったりするのは書式を間違っている事になります。
気持ちはとても良くわかりますし、
私自身も長々と繰り返した書き方をする事もありますけどね。

> 「 永遠に書き終わらない 」 ってのが、 「 永遠に 『 1/3 』 には成りえない 」 ってイメージとダブってしまって・・・・・。

微妙ですが、
「永遠に終わらないから永遠に異なり続ける」のではなく、
「無限の3を書き終わったら等しくなる」のではないかと。

[390] 心の非季 2007/10/28 00:20


表記の規則は、まあ、いいじゃありませんか ^^ 。

「『無限個の3』を書き終わったら等しくなる」・・・・・・・う〜ん、難しいですね ^^ 。

[391] the21023 2007/10/28 00:33

そして「無限個の3を書き終わること」ができるならば3*(1/3)を計算すると
「(無限-1)個の0を書いた後、1を書いた数」、1より小さくなるから
「無限個の3を書き終わること」はできないという

[392] keita 2007/10/28 01:05

>>389
>「3回」書く
今時(でもないか)の教科書には、そんなことが書いてあるんですか?
本当に書いてあるかもしれないなぁ、と思えるところが悲しい。
π≒3とも一脈通ずるものがありますね。(ちょっと違うけれど。)
教育審議会がad hocに定めた規約を、世の中の数学で普及していること
であるかのように教えるのは、教育として流石に拙いと感じます。

私は、小学校(中学校だったかな)のときに、教科書で
0.333… を 0.3 の 3 の上に・(てん)を書くように教わった
覚えがありますが、あれも世間的にはどうなんでしょうか?

少し話がズレますが、大きな自然数を,(カンマ)で区切って書く際に
4桁毎にカンマを入れろ、と習った(算数の教科書に明記してあった)のが癖になり、
後に3桁づつ区切れと言われたとき、随分長い間違和感があったものです。

>>390
>表記の規則は
(毎度同じようなことを書いて恐縮ですが) 1=0.999… に関する議論は、
それが表記に関する問題であることが本質的ではないでしょうか。

何か 0.999… というものが最初からあって、それが 1 に等しいか等しくないか
という議論は、出発点で躓いているように思えてなりません。
「0.999…」という表記(それは、0.9 や 0.999 には無い記法を含んでいます)が
何かの数を意味すると考え始める時点で、それを 1 に等しいものと定めるのか
等しくないものと定めるのか、定義を明確にすることを意識させるのが
特に初等教育で重要ではないかと思うからです。

>>391
「無限個の3を書き終わること」ができるかできないか、という議論も同じ。
無限個書く、ということの定義は何なんでしょう?

[393] the21023 2007/10/28 01:29

>>391 は言葉遊び的に書いたつもりですから、議論にする気はないし、議論になる余地もなさそうです。笑

[394] 心の非季 2007/10/28 03:56


>「0.999…」という表記 (それは、0.9 や 0.999 には無い記法を含んでいます) が
>何かの数を意味すると考え始める時点で、それを 1 に等しいものと定めるのか
>等しくないものと定めるのか、定義を明確にすることを意識させるのが
>特に初等教育で重要ではないかと思うからです。

なるほど、なるほど。
しかし、「0.999…」という表記が、何かの数を意味するか否かの、
その妥当性は、もう少し議論できないでしょうか?

やはり、どうしても、「1/3=0.333…」ありきの議論のような気がしてしまう。

でも、

┃a = 0.999…  —— �
┃両辺を10倍して
┃10a = 9.999…  —— �
┃�−�
┃9a = 9
┃a = 1
┃よって
┃a = 0.999… = 1

これ↑には恐れ入谷の鬼子母神です。

┃b = 0.333…  —— �
┃両辺を10倍して
┃10b = 3.333…  —— �
┃�−�
┃9b = 3
┃b = 1/3
┃よって
┃b = 0.333… = 1

いつ頃からあった証明法なんでしょうか?

[395] 心の非季 2007/10/28 03:58


訂正

┃b = 0.333…  —— �
┃両辺を10倍して
┃10b = 3.333…  —— �
┃�−�
┃9b = 3
┃b = 1/3
┃よって
┃b = 0.333… = 1/3

[396] sage 2007/10/28 05:02

いつ頃かは良く知りませんね笑
しかし初等証明としては十分ですね。
もちろん「一般的な数学」での話ですが…

[397] BERRY 2007/10/28 05:03

名前にsageと書いてしまった。。

[398] 心の非季 2007/10/28 07:13



「一般的な数学」ではない・・・・・・・・・、「 0.333… ≠ 1/3 」の公理系では、

┃b = 0.333…  —— �
┃両辺を10倍して
┃10b = 3.333…  —— �
┃�−�
┃9b = 3
┃b = 1/3
┃よって
┃b = 0.333… = 1/3

この↑証明は、どこに欠陥があることになるのでしょうか?

[399] BERRY 2007/10/28 07:37

詳しくは知りませんが、多分超準解析かなんかかな……
「0.333…」と無限に続くものを不用意に演算できないとか、
0 - 0.999… は無限小を使って説明する、とかそんな感じだったかと。
その辺は知らない事ばっかです(〃>_<)

[400] 落ち武者 2007/10/28 14:13

>>398
いえ、問題ないはずです。
結局のところ、
実数でできることは超実数でもできる。
実数でできないことは超実数でもできない。
のです。

[401] 落ち武者 2007/10/28 14:14

それを1/3と呼ぶかどうかだけの問題かと思います。

[402] mofu 2007/10/28 22:27

理系の大学受験生なら誰でも数3Cの基礎的なことで証明できる。もし理系大学受験生で証明できないなら大学は無理でしょうな。興味ある人は調べてみるといいでしょう。この問題は私も小学生の頃とても悩んで、高校に入って証明方法がわかって多少なり感心しました。

[403] 落ち武者 2007/10/29 00:57

3Cで実数の定義ってやったっけ?

[404] sunsar 2007/10/29 11:23

>>394
>>314 をご覧ください。

>>403
やりません。たぶん。
もし理系大学受験生で、いわゆる数3Cのカリキュラムが出鱈目であること
(たとえば定積分(面積)が不定積分の差になることは証明しない)
もわからないなら大学は無理でしょうな。

[405] mofu 2007/10/29 21:10

実数の定義っていうか普通に極限ですよね。
実数についての議論中だったならごめんなさい。出しゃばってしまって。私が言ったのはスレタイトルの証明です。

[406] 心の非季 2007/10/29 21:10


ちょっとメモ的に・・・・・。

1 ÷ 1 = 1
0.1 ÷ 0.1 = 1
0.01 ÷ 0.01 = 1
0.001 ÷ 0.001 = 1
0.000…1 ÷ 0.000…1 = 1

0.000…∞…1 ÷ 0.000…∞…1 = ?

0.000…∞ ÷ 0.000…∞ = ?
(0.000… ÷ 0.000… = ?)

[407] BERRY 2007/10/29 22:15

>>405
一般的には極限値として定義されてるからそれで十分ですね。

>>406
過去にもありましたが、「無限桁あとに1で終わる」とかはナシです。

[408] sunsar 2007/10/29 22:22

>>405
任意のコーシー列が実数において収束する、ないし実数が完備であることは数3Cでは不明です。
数3Cで「証明」したところで、証明になっていないというのが>>404-405 の意図です。

[409] sunsar 2007/10/29 22:22

まちがえた。>>403-404 ですね。

[410] 落ち武者 2007/10/29 22:27

{0.1,0.01,0.001,0.0001,…}÷{0.1,0.01,0.001,0.0001,…}={1,1,1,1,…}
{0.1,0.01,0.001,0.0001,…}÷{0.01,0.0001,0.000001,0.00000001,…}={10,100,1000,10000,…}
{0.01,0.0001,0.000001,0.00000001,…}÷{0.1,0.01,0.001,0.0001,…}={0.1,0.01,0.001,0.0001,…}

[411] Conclusion 2007/10/29 23:06

まだ、悪夢が続いている模様。

[412] 心の非季 2007/10/29 23:56


ちょっと関係ないかもしれませんが、ここで質問させてください。

(0/0)−(0/0)=?

[413] 心の非季 2007/10/29 23:59


ところで、「実数の範疇では」ってのは、「複素数の範疇では」にしたら駄目なんですか?

[414] 早口言葉 2007/10/30 00:00

定義されていない物と定義されていない物の差が定義されているとは私には思えない。×3回

[415] 野次馬そのN(N≧1) 2007/10/30 14:15

>>414
それは定義されていない物と定義されていない物の差を定義する事の意義への疑義との解釈に異議がありますか?

……何となく返してみただけで深くは考えてないw

[416] 心の非季 2007/10/30 20:33


0*α=1
α=1/0

β^2=−1
β=√(−1)

αとβでは定義の質が違うのでしょうか?

[417] sunsar 2007/10/30 20:45

>>416
前者の場合は5*0*αを(5*0)*αと解釈すると1,5*(0*α)と解釈すると5になり、
結合法則が成り立ちません。

後者の場合はそのような問題が起こりません。
このような問題が起こらない、「うまくいく」ことをさして、
複素数はwell-definedである、などといわれます。

前者の場合は「病的」、ill-definedと言われることもありますが、
そうした性質を持つ対象を研究することに意味がないかといえば
そうでもないでしょう。

[418] 心の非季 2007/10/30 22:19


「  [>>417 ] sunsar  07/10/30  20:45  皆  」 さん、分かりやすい解説、有り難う御座いました。
たいへん為になりました。
思い切って訊いてみるもんですね ^^ !?

[419] keita 2007/10/30 22:36

>>415
物理学者は余り異議がないようで、湯川秀樹は賞を貰いましたね。

[420] 落ち武者 2007/10/31 13:29

お約束の
-1=i×i=√-1×√-1=√(-1×-1)=√1=1

[421] モトラッチマン 2007/11/11 23:14

あの今おもったんですが
0.999...=1-(1/2+1/4+1/8+1/16...)ですか?

[422] the21023 2007/11/11 23:31

おちけつ

右辺が1-1/2の時点で0.5より小さくなる

[423] ライル 2007/11/12 20:20

1≠0.999999…

[424] 野次馬そのN(N≧1) 2007/11/12 22:34

>>423
そう定義したり、そう導けるような公理系を構築する事は出来ます。
が、一般的に使用されている実数の体系では無いので使用する際には何らかの但し書きが必要となるでしょう。
……というような事を何度言ってもループするんだろうなぁ、この話題。

[425] 心の非季 2007/11/22 12:56


ちょっと関係ないけど、ここで訊いてみる、パート2。

「体重が50�しかない」と言って、実際に測ったら49.98�だった時、
その人は嘘をついたことになるのか否か。

また、50.02�だった時はどうか。

[426] 野次馬そのN(N≧1) 2007/11/22 13:03

普通はその程度の誤差は一日の間でも簡単に(食事の前後とか特に)生じるので、虚言として扱われる事は無いですね。
まぁ、命題として真、偽を問うのであれば、前者は真、後者は偽、になるのかな?
「しかない」の示す範囲の解釈(正直自信が無い)次第なので、異論は出てくるかも。

[427] 心の非季 2007/11/22 13:22


びっくり。
もうレスが来てる。

回答ありがとうございます。

 >後者は偽、になるのかな?

でも、数学的に考えると、49.98�でも30�でも同じですよね。

30�の人が「50�しかない」と言っても嘘にならないんでしょうか?

[428] 野次馬そのN(N≧1) 2007/11/22 13:25

何にせよ、スレ違いな事に関しては質問した>>425 さんも含めて誰も異論は無いと思うので、
今後質問は質問スレに、と定型的に言ってみる。

[429] 心の非季 2007/11/22 13:35


因みに、

  ┣■ しか
  ┃
  ┃ [係助] 名詞、名詞的な語、動詞の連体形、形容詞・形容動詞の連用形、一部の助詞・助動詞などに付く。
  ┃
  ┃ 打消しの語を伴って、特定の事柄以外のものを全く否定する意を表す。
  ┃
  ┃ 「この道を行く—ない」
  ┃
  ┃ →きり  →だけ

[430] 心の非季 2007/11/22 13:53


>>428

鉛直投げ上げ運動では頂点で速度ゼロになる。
速度ゼロということは動きが止まるということだと思うけど、
何秒止まってるかといえば、一瞬であり、
線の中の一点のようなものだから幅はなく・・・・、
要するにはゼロ秒ってことになって、止まっていないことになる。

まあ、これや、「50�しかない」って話や、
言葉にすると色んな矛盾が出てくるな〜ってことで・・・・・、
このスレの議題に関連してなくもないかな〜って思ったんだよね。

[431] BERRY 2007/11/22 15:16

「しかない」を国語的でなく数学的に定義しないと命題になり得ない。
微分で解決できる放物運動のそれとは別物だと思うの

[432] 野次馬そのN(N≧1) 2007/11/22 23:01

>>429
なるほど、値の上下に関係なく原義としてはどちらのズレも許容外なんですね。
何となく必要量よりも少ない時に使われる印象が強かったので下方に強く掛かる語だと思い込んでました。
となると、後は>>431 で指摘されてるように「数学的な定義」の問題ですね。
……とまぁ、これ以上このスレで突っ込んで考える内容でも無いか。

[433] 心の非季 2007/11/22 23:07


>>431

  ┃ 打消しの語を伴って、特定の事柄以外のものを全く否定する意を表す。

という国語の意味は、そのまま数学的な命題・・・・・・・、
つまり記号論理学の命題、には使えないでしょうか?

「100円しかない」の場合は、ちょうど「100円」であれば嘘にはならない。
しかし、体重の場合は、ちょうどということは有り得ないから、
全て嘘になってしまうのではないか、という疑問。

線上の一点という概念が絡んでくるので、ここのスレとも関連してるかなと思ったわけです。

[434] 心の非季 2007/11/22 23:20


あと、これは完全に蛇足だけど、

「嘘をついたことがない人が、嘘【しか】つかない人であった」なんてことも考えられる。

なんてことを考えたことがあります。

[435] sunsar 2007/11/22 23:25

まず体重の定義からはじめてはいかがですか?
自分の体についているホコリは体重とすべきかどうか、から。
抜けているけれども体に付着している毛は…とか。

まあ、ぴったりした値をとる確率は0であるという主張はかなり妥当だとは思いますよ。
一般に、確率分布は「密度」として与えられます。
「ココからココの範囲に納まる確率がこれぐらい」という。

[436] 小石川 2007/11/22 23:46

より現実的には、巷のダイエット論議などと密接に関連して、
腸管内容は体重に含まれるか?とか、
細胞外液の増減は体重の増減と考えるか?などの点を
整理する必要があるでしょう。
(スレ違いですが。)

[437] 心の非季 2007/11/23 02:16


>なるほど、値の上下に関係なく原義としてはどちらのズレも許容外なんですね。

いや、その辺は微妙かもしれない。

「財布の中には五百円しかない」の「しか」と、
「財布の中には五百円玉しかない」の「しか」とは、同じ意味なんだろうか?

[438] BERRY 2007/11/23 02:23

>>437
「財布の中」「五百円」「五百円玉」「しかない」
を数学的に評価できるように定義する。
と言うか、わざわざ具体化する意味が分からない。
スレ違い。

[439] 心の非季 2007/11/23 07:27


>>438

「数学的に評価できるように定義する。」とは、例えばどんな感じなのでしょうか。
具体化ってのは定義のことでしょうか。

でも普段使っている国語の意味から外れたら駄目ですよね。

>>425 の真偽はどうなるとお考えですか?

[440] BERRY 2007/11/23 08:44

>>439
測定誤差は?有効数字は?
片方の有効数字が一桁ないし二桁で、もう一方が三桁
「しかない」という、命題の外に予め期待値があるかのような含みのある表現
この状況で「真偽値を決定」は難しいですね。

数学的評価とは簡単に言ってしまえば数式・論理式表現
具体化は「体重がどうだ」とか「お金がどうだ」とか

[441] BERRY 2007/11/23 08:48

>>439
言い忘れたけど、「普段使ってる国語の意味」なんて問題ではないよ。
便宜上普段の感覚に近くなるように設定されているけど、
明確に真偽値ないし式値が決められる表現なら別に日本語に頼ることはない。

[442] 心の非季 2007/11/23 14:35


 >測定誤差は?有効数字は?

そういった煩わしい要素がないモデルで考えてみたい。
例えば、「100円しかない」の場合です。
「101円」の場合は嘘になるか。
「99円」の場合はどうか。

これにより、とりあえずは「【しか】」の意味が明確化してくるような気がする。

その後で測定誤差などの要素を考えればいいのではないか・・・・・。
あと、体重の定義が厄介ならば、例えばバーベルの重量で考えればいい。

 >明確に真偽値ないし式値が決められる表現なら別に日本語に頼ることはない。

そういうことではなくて、その定義・表現が、今、日本人が使っている使っている、
「【しか】」の意味から外れていたら駄目だということです。

[443] 落ち武者 2007/11/23 14:41

>>442
「駄目」とは具体的に?

[444] 心の非季 2007/11/23 14:58


勿論、どれぐらいの量を「少し」とみるか、という視点での「しか」の意味は、ここでは考えていません。

[445] 心の非季 2007/11/23 15:05


 >>442

 >「駄目」とは具体的に?

「無意味」という意味でしょうか!

┃そういうことではなくて、その定義・表現が、今、日本人が使っている、
┃「【しか】」の意味から外れていたら「無意味」だということです。

「意味」という表記の連呼を避けて「駄目」という表記にしたんだけどね。

まあ、

│「無意味」という意味でしょうか!

と連呼しちゃってるわな。

[446] BERRY 2007/11/23 23:47

どうして日本語の意味に拘るの?
会話文と式は 別 物 だけど。
それに体重もウエイトも一緒。
「しか」を数式で示して下さい。
そもそも「命題の真偽→言葉の意味」という論理がおかしい。
(数学的)命題の真偽は万人に共通の定義を以て初めて評価される。

数学的に考えられないならいい加減スレ違いというか板違い。

[447] sunsar 2007/11/23 23:51

うましか。
たしかかもしかはしかだが、あしかはたしかしかではなしか。
本当の言い回しは忘れました。

まあ、「しか」に「数学的な意味」はないと思いますよ。
普通、数学書などで「Aしかない」という場合は、only Aを意味すると思います。
これがたとえばless thanを含むかどうかは文脈によるでしょう。

[448] BERRY 2007/11/24 00:01

いや、数学的意味を問うているのではなくて笑

まず「100円しか」に対して「101円は」「99円は」とかの話でした。
「only」で意味取ればそりゃ真偽は明確だね。
別にあたしはonlyでいいと思うけど、命題にニュアンス求めるようなのが納得いかなかっただけ。

ごめんね、死ぬ

[449] BERRY 2007/11/24 00:01

いや、数学的意味を問うているのではなくて笑

まず「100円しか」に対して「101円は」「99円は」とかの話でした。
「only」で意味取ればそりゃ真偽は明確だね。
別にあたしはonlyでいいと思うけど、命題にニュアンス求めるようなのが納得いかなかっただけ。

ごめんね、死ぬよ

[450] sunsar 2007/11/24 21:58

>>448-449
べつに死ななくても。

まあ、>>439
>でも普段使っている国語の意味から外れたら駄目ですよね。
というのが明確に誤りだと思いますよ。
数学でいう「または」は、日常語の「または」よりも狭いです。
数学でいう「近傍系」は、日常語でいう「近く」とは全く別の概念です。

[451] keita 2007/11/24 23:33

"neighborhood system" を「近傍系」と訳すから、学術用語だということが一目瞭然になります。
ぱっと見にも、日常会話で使わない単語ですからね。
これを「ご近所システム」とでも訳してしまったら、「しか」と同じ(更に悪い?)混乱が生じそうです。
熟語は便利だというか、外国人は気の毒だというか…。
印欧語族の言葉でも、独語系の粘着語は、熟語と同じ機能を持っていますね。

[452] 心の非季 2007/11/25 10:42


┃>でも普段使っている国語の意味から外れたら駄目ですよね。
┃というのが明確に誤りだと思いますよ。

う〜ん、僕の表現が悪かったのかな〜。
単に「>数学的に評価できるように定義する」だけじゃあ、
求めているものにならないよね、って意味なんだけど・・・・。

[453] 心の非季 2007/11/25 10:57


>別にあたしはonlyでいいと思うけど、命題にニュアンス求めるようなのが納得いかなかっただけ。

「only」と定義することが妥当か否かってことだと思うんですよね。

「ボーナスが、去年までは100万円だったのに、今年は50万円【しか】なかった」。
しかし実際は50万0300円だった時、嘘になるか否か。

日常会話だって、意味は一様になってると思うんですが・・・・・。
そうなってないと会話が成り立たないような気がするんですが・・・・・。

[454] sunsar 2007/11/25 11:04

>>453
それは「しか」の意味の問題ではなく、「50万円」の意味の問題です。
実際、「50万円ぐらいしか」にすれば偽であるとは思わないわけで、
これは「50万円(ぐらい)」という言葉の意味の問題でしかないわけです。
日常会話で50万円というとき、ぴったり50万円を指しているとは限らないのは明らかでしょう。

[455] 心の非季 2007/11/25 11:11


 ┃ 勿論、どれぐらいの量を「少し」とみるか、という視点での「しか」の意味は、ここでは考えていません。

ってのは、つまり、極端に言うと、

「ボーナスが、去年までは100万円だったのに、今年は1000万円【しか】なかった」。
ってのもアリってことです。
その辺の日本語の意味には拘ってないんです。

そして実際も、ちょうど1000万円だった時は嘘にならないんです。

[456] 心の非季 2007/11/25 11:15


>>454

それなら、そこは、「ちょっきり50万円」という設定をした時の真偽で考えたい。
そう設定しても、真偽は結構悩ましいものになると思うんだけど・・・・・。

[457] sunsar 2007/11/25 11:17

>>455
だから、それは「しか」ではなく「1000万円」の問題です。
「1000万円」がぴったり1000万円を意味しているのか、
それとも約1000万円を意味しているのか、ということには、
「しか」という単語は関係がありません。

[458] sunsar 2007/11/25 11:18

>>456
なりません。
「ぴったり50万円しかなかった」と50万1円もらったときに主張したら、
明らかに誤りです。

[459] 心の非季 2007/11/25 11:28


というか、数学的にどう定義するか、または定義されているか、ということよりも、
「1と0.999・・・・・・は等しいのか?」と言った時の意味の捉え方として妥当なものは何か考えたいな、
っていう提案でもあるんだけどね。

数学の知識に乏しい僕を煽るようなレスは控えて欲しいな〜 ^^ 。

[460] sunsar 2007/11/25 11:33

>>459
>「1と0.999・・・・・・は等しいのか?」と言った時の意味の捉え方として妥当なものは何か考えたいな、
>っていう提案でもあるんだけどね。
要は、あなたの提案が妥当でないという、ただそれだけのことです。
0.999...が1であるかどうかということは、あなたが考えている誤差論的な話ではありません。
そこにもしズレがあるとしても、ズレは実数ではありません。
1000000と999999が「等しい」のかどうかという話題ではあなたの提案は適切かも知れませんが、
今考えていることはそういう話ではないのです。

[461] 心の非季 2007/11/25 11:35


>「ぴったり50万円しかなかった」と、50万1円もらったときに主張したら、明らかに誤りです。

そこでしたね。
「くらい」というニュアンスがあるから成り立つ言葉だったと!?
>>418 に続き、sunsar さんには、感謝します。

[462] 心の非季 2007/11/25 11:45


>0.999...が1であるかどうかということは、あなたが考えている誤差論的な話ではありません。

いや、それは分かってるんですけどね。
「言葉の意味をどう捉えるか」ってのが問題だと思うんですよね。
そこをクリアーにすると本質が見えてくるというかなんというか・・・・・・。

ともあれ、「しか」の問題は、sunsar さんのレスによって、だいぶクリアーにしていただいたんで、
これも、思い切って訊いてみて良かったなと思う次第です。

[463] sunsar 2007/11/25 11:56

>「言葉の意味をどう捉えるか」
が問題であるというのは、まあその通りです。
=という記号をひとつとっても、=を「本当に全く同じ表現のもの」だけを許す記号と解釈するならば、
a=bというのは明らかに間違いです。
1=0.999...かどうかというのは、左辺の記号と右辺の記号にはそれぞれ
「指示内容」とでもよぶべき「意味」があって、
その「意味」について「等しい」かどうか、というのが問題なのですから。
0.999...に1と異なる意味を与えることは不可能ではありません。
ただ、そういう意味を与えたときに、いったいどういう現象を表現しているといえるのか、
もしくはそういう定義を与えたときの挙動が面白いかどうか、というのは問題ですが。

[464] 落ち武者 2007/11/25 12:19

哲学、心理学、語学の話だわね。
判断そのものではなく、人への伝わり方の問題。

「どの程度の言葉から命題(他人も命題だと判断できる文)を作れるか」
は数学の対象ではない。

[465] 心の非季 2007/11/25 12:22


 >0.999...に1と異なる意味を与えることは不可能ではありません。

可不可の問題もあるかと思いますが、妥当性で考えた場合、どうなると思いますか?

たしか、>>387 が、このスレ(このカテ)での僕の初投稿だったと思うんですが・・・・・、
僕の中での素朴な疑問がまだクリアーになってないんですよね。

円を多角形の概念から導けるのか否か、みたいな・・・・・・・。
円は円というところから出発しない限りいつまでも円にはならないのではないか、みたいな・・・・・・・。

[466] 落ち武者 2007/11/25 12:33

>>465
∞角形を円だと思うのは何故ですか?
何故それが円でなければならないと考えるのですか?

[467] sunsar 2007/11/25 12:37

>>465
円(というか曲線)は、各点で「滑らかに曲がった」線がつながってできているので、
その意味では正n角形の極限としては得られません。
数学の言葉で言えば、Qに1の原始n乗根をすべて加えてできる体は完備でない、
ということになりますが。

「無限」を一まとめとして扱うことはできないので、きちんと細かく分けて考える必要があります。
そのうえで、正n角形の「極限」は円ではありませんが、
0.999...は1になります。

[468] 心の非季 2007/11/25 12:43


 >哲学、心理学、語学の話だわね。

分科するのも大切だと思うんだけど・・・・・・、
でも、どんな学問も、要するには、
随縁真如(絶対不変である真如が、縁に応じて種々の現れ方をすること。)だと思うんですよね。

あんまり「スレ違い」とか「カテ違い」ってことに拘らなくても良いような気がするんだけど・・・・・。

なんてゆうか、あれくらいのことを「思い切」らないと書込めない、
このスレの雰囲気を、ちょっと憂います。

[469] 落ち武者 2007/11/25 12:47

>>468
逆ですよ。
一緒くたにすると何が正しいのか分からなくなるから、分科して考える。

[470] 心の非季 2007/11/25 12:47


 >「無限」を一まとめとして扱うことはできないので、きちんと細かく分けて考える必要があります。
 >そのうえで、正n角形の「極限」は円ではありませんが、0.999...は1になります。

要は、「1と0.999・・・・・・は等しいのか?」と問われた時に、
「円と正多角形の関係」をイメージしちゃうことの正当正や妥当性を考えたいな、ってことです。

[471] sunsar 2007/11/25 12:52

>>470
>「円と正多角形の関係」をイメージしちゃうことの正当正や妥当性を考えたいな、ってことです。
正当性や妥当性はないです。
隣が魚屋さんだから、その隣は八百屋さん、と言っているのと同じです。
イメージしてしまう理由は、どちらも無限が関係することだからです。
無限についての無知、ということですね。

[472] 心の非季 2007/11/25 12:55


 >一緒くたにすると何が正しいのか分からなくなるから、分科して考える。

そうですね、それは分科することのメリットですね。
でも、分科するだけで包括的な把握を欠くと・・・・・・・、
例えば、「1と0.999・・・・・・は等しいのか?」という問いかけが矮小化しゃうように思うんだよね。

[473] 心の非季 2007/11/25 13:05


 >正当性や妥当性はないです。

なぜ、そう言い切れるのでしょうか。
「ここでの無限の意味はこっちにするべ」という前提ありきの域を出てないような気がするんだけど・・・・。
「なぜ、そっちの意味にするの?」
「その言葉だけでそっちに捉える妥当性は?」
といったような形而上学的問いには答えてないんじゃない?

[474] 落ち武者 2007/11/25 13:12


なぜ数学に「形而上学的問い」の答えを求めるの?
なぜ答えが返ってこなければならないと考えるの?

[475] 心の非季 2007/11/25 13:14


 >なぜ答えが返ってこなければならないと考えるの?

よく分かりませんが・・・・・・・、
それでは、貴方は、なぜ、そうした問いが無意味だと考えるのですか?

[476] 落ち武者 2007/11/25 13:17

分科して考えているからです。
数学に聞いてもしょうがない。
八百屋で魚下さいと言うようなものです。

[477] sunsar 2007/11/25 13:19

>>473
>「ここでの無限の意味はこっちにするべ」という前提ありきの域を出てないような気がするんだけど・・・・。
1や0.999...という表現には、それぞれある程度前提となる事柄があります。
たとえば、0.999...というのは、十進表記の約束から0.9+0.09+0.009+...を意味します。
さらに、1という記号や0,9という記号が実数であることを前提とするならば、
1=0.999...という結論は「きちんと」導かれます。
あなたが別種の極限に関する考察をしたいのならば、
1=0.999...という記号を用いるのは不適切だということです。

では、あなたが1=0.999...という記号を用いて表現しようとしている概念は、
普通の概念と大きく異なるようですが、それはいったい何なのですか?

[478] 心の非季 2007/11/25 13:19


 >分科して考えているからです。

なぜ、分科して考えないといけないの?

ちゅうか、こういう煽り合戦みたいなのは不本意だから、この辺にしときます。

僕の拙い質問に付き合ってくれた方には感謝します。

それでは。

[479] 落ち武者 2007/11/25 13:22

>>478
>>472 で自分で言うとるがな。

[480] 落ち武者 2007/11/25 13:26

魚欲しいって言われて魚取り寄せて売ってたら、八百屋の看板の意味がありません。
八百屋と魚屋を分けるのならば、魚は魚屋で注文するものです。
逆に、分けないのならば、「八百屋」に注文すること自体ができません。

[481] sunsar 2007/11/25 13:37

0.999...という表現が、想像以上にいろいろと規定していて、
逆に想像以上に何も規定していないということを
受け入れられないということなんでしょうね。

某所での量子論についての話でもそうでしたが、
やっぱり「そこにあるそれ」は「そっくりそのまま」受け入れるべきです。

[482] 心の非季 2007/11/25 13:37


 >たとえば、0.999...というのは、十進表記の約束から0.9+0.09+0.009+...を意味します。

それは、正多角形の概念とは別物ですか?

 >さらに、1という記号や0.9...という記号が実数であることを前提とするならば、
 >1=0.999...という結論は「きちんと」導かれます。

「実数であることを前提」にするってのが、
そもそも「1=0.999..」を前提としていることの別表現ってことはないですか?

無限正多角形の概念は、実数ではなくなる!?
(いや、僕は、どっちか分からないんだけど・・・・。無知なもんで・・・・・・。)

[483] sunsar 2007/11/25 13:43

>>482
>それは、正多角形の概念とは別物ですか?
別物です。
正確には、0.9+0.09+...についての考察と、正多角形に関する考察をそれぞれ進めたとき、
両者は一致しません。
別物であることも、類似であることも、そのどちらも仮定せずに論を進めると、
別物であることを得ます。

>「実数であることを前提」にするってのが、
>そもそも「1=0.999..」を前提としていることの別表現ってことはないですか?
その場合には0.999...という表記は何を意味しているのですか?
というより、あなたは何を意味させたいのですか?
0.999...のあなたにとっての定義は何ですか?
定義が断片的であっても結構ですが、0.999...の持つ側面が何一つ規定されないのでは、
0.999...について考えることは不可能です。

[484] 心の非季 2007/11/25 13:46


>>479-480

「なぜ、そうした問いが無意味だと考えるのですか?」
という質問には答えてないような気がするけどね。

まあ、いいや。

・・・・・・なんていうか、ほんと、そういう煽るようなレスは止めない?

[485] 落ち武者 2007/11/25 13:50

>>484
煽りと捉えられるのは甚だ遺憾です。
分からない、あるいはおかしいと思うから聞いているのです。

>>469 >>476 >>480 では答えになりませんか?

[486] 心の非季 2007/11/25 13:51


 >正確には、0.9+0.09+...についての考察と、正多角形に関する考察をそれぞれ進めたとき、
 >両者は一致しません。

いや・・・・・・、その辺が知りたかったがゆえに、意味論の話をしたって感じかな。
僕的には、とても興味深くなってきました。
もう少し詳しく説明してくれると嬉しいです。

[487] 心の非季 2007/11/25 13:56


  ┃ 分からない、あるいはおかしいと思うから聞いているのです。

煽りというのは、訊き方の問題です。

  ┃ >> 469 >> 476 >> 480 では 答えになりませんか?

「なぜ、そうした問いが無意味だと考えるのですか?」
には答えていませんね、はい。

[488] 落ち武者 2007/11/25 13:59

>>487
難しいですね。
具体的にどの部分ですか?「気がする」ではよく分かりません。

[489] 心の非季 2007/11/25 14:05


 >0.999...のあなたにとっての定義は何ですか?

どう定義することが妥当か、という形而上学的問いをしているわけですから・・・・・・・。

[490] sunsar 2007/11/25 14:08

>>489
>どう定義することが妥当か、という形而上学的問いをしているわけですから・・・・・・・。
断片的であってもよいですから、あなたの思う0.999...の性質をあげてください。
そうでなければ、どのような定義を与えることもできません。

[491] 落ち武者 2007/11/25 14:13

私は、
「数学」というもの(アプローチの仕方)を他と区別して呼ぶのであれば、
そこに形而上学、語学等の注文をしても仕方が無いと思います。
そもそも何の為に分けたのか、ということです。

逆に、統合的(?)に解決すればいいという立場であれば、
「数学」という区別自体が無いはずです。
であるならば、そもそも「数学」に注文することができません。
注文する相手は(何と呼ぶのか分からないですが)「統合的な何か学」でしょう。

あなたは「分ける」のですか、「分けない」のですか
どちらですか。

[492] 心の非季 2007/11/25 14:13


 >断片的であってもよいですから、あなたの思う0.999...の性質をあげてください。
 >そうでなければ、どのような定義を与えることもできません。

性質というか・・・・・・、無限性多角形のイメージ・・・・・・・ですが・・・・。

[493] sunsar 2007/11/25 14:18

>>492
イメージではわかりません。
0.999...と多角形を結びつける概念をもっときちんと与えてください。

ちなみに、0.999...が任意の有理数と大小を比較できることを仮定し、
また「任意の正の数より小さい正の数は存在しない」ことを仮定するならば、
0.999...は1になります。

[494] sunsar 2007/11/25 14:19

>「任意の正の数より小さい正の数は存在しない」
「あるa>0を与えたとき、aがどんなb>0に対してもa>bを満たすことはない」
ということです。

[495] 心の非季 2007/11/25 14:22



>>491

だから、分科することのメリットも認めてるんだって。
その上で、包括的な視点も大切ってこと。

「スレ違い、スレ違い」ってのがヒステリックに感じるのよ。

しかも「罵りの意思」を強く感じるのよ。

[496] 落ち武者 2007/11/25 14:36

>>495
「罵りの意志」とはまた。疑心暗鬼というものかと。
具体的に挙げてもらわないことには、名誉毀損というものです。
スレ違いについては自分で半ば認めていたんじゃないんですか?>>425

私も包括的視点に価値が無いとは言いません。
ただ、残念ながらここは"カテゴリー分けされた掲示板"の"数学カテ"なのです。

[497] 心の非季 2007/11/25 14:43


>>493

 >0.999...と多角形を結びつける概念をもっときちんと与えてください。

いや、僕の能力では、これ以上の説明は無理ですが・・・・・。

正N角形のNをどんどん大きくしていけば、どんどん円に近くなる。
「どんどん大きく」ではなく「無限という数」にした時には・・・・・・・・・どうなんだ!?

ちゅうか、これが円になるってのが、「1=0.999..」の概念なんじゃないの?
ほんとうに「無限正多角形≠円」なの?

[498] 落ち武者 2007/11/25 14:43

つまり、返ってくると期待できるのは「数学」の答えというわけです。

[499] 心の非季 2007/11/25 14:50


>「罵りの意志」とはまた。疑心暗鬼というものかと。
>具体的に挙げてもらわないことには、名誉毀損というものです。

そのレスにも煽りの要素があるでしょ!?
まあ、そういうことです。

>私も包括的視点に価値が無いとは言いません。
>ただ、残念ながらここは"カテゴリー分けされた掲示板"の"数学カテ"なのです。

だから、「"カテゴリー分けされた掲示板"の"数学カテ"」でも、
包括的視点は大切だということです。

[500] sunsar 2007/11/25 14:53

>>497
>ちゅうか、これが円になるってのが、「1=0.999..」の概念なんじゃないの?
違います。
>ほんとうに「無限正多角形≠円」なの?
無限正多角形上には、弧を1だけ進んでたどり着く点が頂点として含まれません。
そもそも、弧を得ることができません。
正多角形において、n→∞というのはnを適当な素数の積として書くとき、
その因数を増やすことに相当しますが、それはすなわち
n角形の分割をより細かくすることに相当するだけで、弧は得られません。
どこまで行ってもカクカクしています。
これが、円そのものでなくて、円周長についての話であれば、
確かに正n角形の周の長さは2πに収束します。
でも、それは図形として収束することを意味しているわけではありません。
数学の言葉で言うと、limsup(n角形)をとって、それをさらに完備化したものが円にあたります。
0.999...の場合は、単にlimをとるだけです。

[501] 心の非季 2007/11/25 14:58


>これが、円そのものでなくて、円周長についての話であれば、
>確かに正n角形の周の長さは2πに収束します。

円周長のイメージで話していました。
でも、収束するってのがよく分かりません。
収束ってのはイコールになるってことですか?

[502] sunsar 2007/11/25 15:01

>>501
イコールになるということです。
円と円周長の区別をきちんとすれば、あなたの疑問は解決したのでは。

[503] 心の非季 2007/11/25 15:08


円周長と無限正多角形の周の長さが同じであれば、
円と無限正多角形は同じ形になっているような気がするんですが・・・・・・・・。

[504] sunsar 2007/11/25 15:13

>>503
>円と無限正多角形は同じ形になっているような気がするんですが・・・・・・・・。
それは気のせいです。
そもそも、「無限正多角形」なる「図形」は普通の意味では存在しませんが、
無限正多角形に関して円周長は定義されません。
円周長は正多角形に関して定義されて、その極限をとると2πになるだけで、
無限正多角形に関して円周長が定義されることを意味するわけではありません。
たとえば、1/xという関数について、xを正のほうから0に近づけていくと+∞に「近づき」ますが、
反対にxを負のほうから0に近づけていくと-∞に「近づき」、
両者は一致しないことになり、1/xのx=0での値は普通は定義されません。

周の長さという情報がすべてを反映しているわけではありません。

[505] 心の非季 2007/11/25 15:17


http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?enc=UTF-8&p=%E5%8F%8E%E6%9D%9F&stype=0&dtype=0
└ Yahoo!辞書 - しゅう‐そく【収束】

「限りなく近づくこと」ってのと、「一致する」ってのが、同じ意味には思えない、
というかなんというか・・・・・・・・・。

無限正多角形は円にはならないし、無限正多角形の周の長さは円周の長さにはならない・・・・・・・???

[506] sunsar 2007/11/25 15:20

>>505
よく読んでください。
>確かに正n角形の周の長さは2πに収束します。
収束するのは正n角形の周の長さであって、無限正多角形ではありません。

全体的に、言葉をもっと大切にしてください。

[507] 心の非季 2007/11/25 15:29


要するには、「π=3.14…」ってのと一緒なのかな!?

「永遠に書き表せない」わけだから、要するにはイコールにはなり得ない、
って僕なんかは思っちゃうわけだけど・・・・・・、
目指している所を表しているんだと捉えればいいと!?

いや、これも違うのかな!?

[508] 心の非季 2007/11/25 15:31


>よく読んでください。

>>505  は >>504  を読まずに書込みました、あしからず。

[509] sunsar 2007/11/25 15:38

>>507
...以降は正しい数字が書き表されているのを省略しているという解釈です。
...には「書く」とかそういう意味は基本的にありません。
省略されているのです。

[510] 心の非季 2007/11/25 15:49


 > ...以降は正しい数字が書き表されているのを省略しているという解釈です。
 > ...には「書く」とかそういう意味は基本的にありません。
 > 省略されているのです。

「書き表されているの」が、省略されてるんでしょ!?

[511] sunsar 2007/11/25 15:53

>>510
それは失礼。
「書く」という行為を表しているわけではないから=としてよい、ということです。
「書かれているもの」を...で省略するから、=でよいということです。

[512] 心の非季 2007/11/25 15:59


ところで、「実数の範疇では」ってのは、「複素数の範疇では」にしたら駄目なんですか? [>>413 ]

[513] sunsar 2007/11/25 16:02

>>512
複素数にしても、普通に定義する限りでは0.999...は1になります。
0.999...をたとえば23と明示的に定義してしまえば、その限りではありませんが。

[514] 心の非季 2007/11/25 16:03


 > 「書かれているもの」を...で省略するから、=でよいということです。

「書かれている無限」とか「無限個という定まった数」というような概念ですよね!?

これがイメージし辛いんだよね ^^ 。

[515] sunsar 2007/11/25 16:06

>>514
目の前の1cmの領域から点を抽出しようとしたら、
無限の意味が少しはわかるのでは。
点は無限に取れるように思われます。

[516] 心の非季 2007/11/25 16:11


>>515

「点をどれだけ集めても幅は持たない」という感覚のほうが強く出ちゃいますね、僕の場合。

[517] sunsar 2007/11/25 16:14

>>516
そうですよ。だから無限にとれるんですけど。幅を持たないから。

[518] sunsar 2007/11/25 16:15

「幅の中に点がとれる」

「幅は点で構成されている」
は別の話ですよ。

[519] 心の非季 2007/11/25 16:17


┃a = 0.999…  —— �
┃両辺を10倍して
┃10a = 9.999…  —— �
┃�−�
┃9a = 9
┃a = 1
┃よって
┃a = 0.999… = 1

まあ、この証明から、逆に、無限というものをイメージするのが良いのかも!?

それでも、僕の堅い頭では難しいんだけど・・・・・ ^^ 。

[520] sunsar 2007/11/25 16:20

>>519
桁同士の足し算や引き算ができることを証明してからのほうがよいと思いますよ。

[521] 心の非季 2007/11/25 16:44


 >そうですよ。 だから無限にとれるんですけど。 幅を持たないから。

なんか、狐につままれた感じ ^^ 。

僕が言いたかったのは、
「点をどれだけ集めても幅は持たない」という感覚が、
どれだけ小数点以下に9を連ねても1にはならないという感覚とダブってしまうということです。

 >>520

その証明って、このスレでされてましたっけ?

[522] 心の非季 2007/11/25 17:05


ほんと物分かりが悪くて申し訳ないんですが・・・・・・・・、
ループになるかもしれませんが・・・・・・・、>>504 に関して、もう少し質問。
無限正多角形の周の長さが円周の長さと一致する感覚と同じ感覚で、
無限正多角形と円の形の一致を考えてもいいような気がするんだけど・・・・・・。

逆に、「どこまで行ってもカクカクしている」という不一致の感覚と同じ感覚で、
無限正多角形の周の長さは円周の長さとは一致しないと考えてもいいような気がするんだけど・・・・・・。

[523] sunsar 2007/11/25 18:52

>>521
>「点をどれだけ集めても幅は持たない」という感覚が、
>どれだけ小数点以下に9を連ねても1にはならないという感覚とダブってしまうということです。
ダブってはいけません。
0,9,0.09,...はそれぞれ幅を持ちます。
その感覚でいえば、取り残される点のほうこそ幅がないのですから
なおのこと1=0.999...でしょう。

>その証明って、このスレでされてましたっけ?
されてないのでは。してみたらいいと思いますよ。

>>522
有理数からなる「直線」と実数からなる直線の違いはわかりますか?
まずはそこからですね。

[524] 心の非季 2007/11/25 19:04


興味深い記事があったので紹介。

http://blog.livedoor.jp/khideaki/archives/51055825.html
└ 数学屋のメガネ:現実存在である人間が無限を捉えることの限界

 ┃数学(形式論理)では、どんどん近づくという言い方は出来ないので、
 ┃どこかの時点で切り取って、その任意性から無限の果ての可能性を把握するという表現をする。
 ┃この場合は、目標地点と到達点の差が、任意に小さくできるということから、
 ┃極限においては目標地点と一致するのだと考える。

僕の拙い頭は、この説明でも合点できないんだけどね ^^ 。

[525] sunsar 2007/11/25 19:10

>>524
どこに合点がいかないのですか?

[526] 心の非季 2007/11/25 19:13


 >ダブってはいけません。

いや・・・・・・、なんてゆうのかなあ・・・・・・、それは分かってるんだけど・・・・・・・、ってのが多いな〜。

もちろん、「・幅(・線分)からは無限に点がとれる」ってのはイメージできるんだけど、
そのイメージからは、「書かれている無限」とか「無限個という定まった数」ってのがイメージできないんだよね。

[527] sunsar 2007/11/25 19:15

>>526
>そのイメージからは、「書かれている無限」とか「無限個という定まった数」ってのがイメージできないんだよね。
では、カントールの対角線論法について、または
制限直積と直積の違いについて、勉強してみてはいかがでしょうか。
僕が「書かれている無限」を一番強く実感したのは、
制限直積と普通の直積の違いの意味がわかったときでした。

[528] 心の非季 2007/11/25 19:15


>>525

「任意に小さくできる」の意味がいまいち分からない。

[529] sunsar 2007/11/25 19:17

>>528
1-0.999...を考えたとき、
1-0.999...<1-0.9=0.1
1-0.999...<1-0.99=0.01
1-0.999...<1-0.9999=0.001
...
「誤差」が、任意の(0.1)^nよりも小さいことがわかります。

[530] 心の非季 2007/11/25 19:31


>>529

差はどこまで行っても「0」にならないような・・・・・・。

いや、アンチテーゼではなしに、素朴な思いとして…・・・・。

[531] sunsar 2007/11/25 19:40

>>530
任意の(0.1)^nよりも小さいような、0でない数ってなんですか?

[532] 心の非季 2007/11/25 19:41


 >有理数からなる「直線」と実数からなる直線の違いはわかりますか?
 >まずはそこからですね。

できれば、まずはそこからの解説をお願いします。

 >されてないのでは。してみたらいいと思いますよ。

僕には無理なので、これも、できればサンサーラさんにお願いしたいんだけど・・・・・・。

[533] 心の非季 2007/11/25 19:43


 >任意の(0.1)^nよりも小さいような、0でない数ってなんですか?

だから、まだ、「任意」の意味が把握できてないんだって ^^ 。

[534] sunsar 2007/11/25 19:45

>>532
有理数からなる直線の場合、たとえば原点からの長さが
√2であるような点は存在しないことになります。
しかし、正方形の対角線について考えると、
そのような長さの点がないと考えるのは不合理です。
従って、直線上の点に原点からの距離を対応させて数直線とするとき、
有理数は数直線の目盛りとしては不十分であるということになります。

あんまり答えばかりを追い求めると、本質が見えなくなりますよ。
一日でも一ヶ月でも半年でも一年でも十年でも、考えたほうが見えることもありますよ。

[535] sunsar 2007/11/25 19:47

>>533
「任意のnについて」というのは、「どのようなnについても」ということです。
nについてどんな具体的な数、たとえば1000とか10000とかをとってきても、
「誤差」は0.000...[1000個続く]...0001とか0.000...[10000個続く]...0001よりも小さいわけです。

[536] 心の非季 2007/11/25 19:49


任意の(0.1)^n  ・・・・・・・・・  例えば、0.001を考えると、

それより小さい数、0.0001が考えられる。

って、僕、変なこと言ってる?
言ってる可能性大だけど ^^ 。

[537] sunsar 2007/11/25 19:50

>>536
誤差は一つの確定的な値です。
すなわち、1-0.999...=αとおくとき、
α<0.1
α<0.01
α<0.001
一般に、
α<(0.1)^n
がいえるということです。

[538] 心の非季 2007/11/25 19:53


>>534 のようなことなら分かってました。

そこからどのように発展させていけば良いのでしょうか?

[539] 心の非季 2007/11/25 19:57


>>537

ほうほう、なんとなく分かってきましたですはい。

でも・・・・・・、

α < (0.1)^n の時に

αが「0」以外にはないという理由が・・・・・・・・。

[540] sunsar 2007/11/25 19:59

>>538
無限正多角形というか正無限角形を考えるとき、その頂点は、
ある一つの頂点から考えて、円周でいうところの2πq(0≦q<1,qは有理数)の距離にある点です。
これはわかりますか?

[541] sunsar 2007/11/25 20:02

>>539
0以外にあって、それをβと仮定すると、0とβの間では大小が比較できないことになります。

[542] 心の非季 2007/11/25 20:05


頂点が頂点から考えて・・・・・・・・・の距離にある点。

ちょっと言っていることのイメージができません。

[543] sunsar 2007/11/25 20:07

>>541
ちょっと間違い。
0とβを異なる点と考えようとすると、一つの点に対して二つの点が対応することになります。
矛盾しない大小比較を定義することだけを考えるなら、それは不可能ではありません。

[544] 心の非季 2007/11/25 20:07


 > 0以外にあって、それをβと仮定すると、0とβの間では大小が比較できないことになります。

なぜですか?

[545] sunsar 2007/11/25 20:08

>>542
正n角形の頂点は、円周をn等分します。
したがって、各頂点は円周上を2π(k/n) k=0,1,..,n-1だけ移動したところにあるといえます。

[546] 心の非季 2007/11/25 20:11


 > 0とβを異なる点と考えようとすると、一つの点に対して二つの点が対応することになります。

二つ以上の点が対応したら駄目なんですか?

[547] sunsar 2007/11/25 20:11

>>544
>>543 はたぶんまだ読まれていないと思いますが、>>543 を踏まえて、
直線を集合として二つに「切断」するときには、切断点をaとして
(1)aが「左側」に含まれるとき
(2)aが「右側」に含まれるとき
の二つの場合がありえます。aがどちらにも含まれない場合というのは
集合として二つにわかれていませんし、aがどちらにも含まれるというのは
二つをくっつけたときにaがあまるという意味で二つに分かれていないからです。
これはよろしいですか?

[548] sunsar 2007/11/25 20:13

>>546
その場合、たとえば1という数は何を意味するのですか?
1がビールを表し、0.999...がワインを表すのならば何でもいいですが、
1や0.999...という記号の意味を断片的でも結構ですので
いくらか決めてからでないとそれらの意味を考えることはできません。

[549] 心の非季 2007/11/25 20:18


>>545

イメージできましたです。

[550] 心の非季 2007/11/25 20:22


>>547

なんとなく把握しましたです。

[551] sunsar 2007/11/25 20:22

>>549
nが任意の自然数を動くので、正n角形の極限(正確には上極限という)は
一般に0から1までの有理数を用いて、
>ある一つの頂点から考えて、円周でいうところの2πq(0≦q<1,qは有理数)の距離にある点
と表現されることになります。
すると、これは「有理数のみからなる直線」と同じものになるわけで、
円としてはスカスカで「不完全」になってしまう訳です。
これに対して、有理数から実数を構成するときと同じように
「完備化」という手続きを踏むと、円が構成できます。

[552] 心の非季 2007/11/25 20:25


 > その場合、たとえば1という数は何を意味するのですか?

ってゆうか、α < (0.1)^n となる α が2つ以上あっても良いように思えるんです。

また、変なこと言っちゃってる可能性は大だと思うけど・・・・・。

[553] sunsar 2007/11/25 20:26

>>550
このような切断(の定義)を「デデキントの切断」と言います。
0.999...を含む数の体系がデデキントの切断の条件を満たすようにふるまうと考えると、
0より大きくて0.1^n(n=0,1,2,..)よりも小さい数はないことになります。

[554] sunsar 2007/11/25 20:28

>>552
そのようなαたちの存在を仮定するのは自由ですし、実際それは多項式に
ベキに関する辞書式順序を入れたときと同じような振る舞いをします。

ただ、それによって得られる体系において0.999...の意味を考えようとしても、
0.999...が0.9+0.09+...である限りは実数の場合と同じ結論に達します。

[555] 心の非季 2007/11/25 20:32


2πq  ( 0 ≦ q < 1  , qは有理数 )

qを1/nと考えれば良いわけですね!?

 > これに対して、有理数から実数を構成するときと同じように
 > 「完備化」という手続きを踏むと、円が構成できます。

有理数から実数を構成する方法はしらないんですが・・・・・・、
なんとなく合点できましたでつ。

[556] sunsar 2007/11/25 20:34

>>555
単純に極限をとるだけではなく、別の操作が必要であるということが
理解されればとりあえずはそれで十分です。
実数の構成については>>553-554 の方向からのアプローチで
そのうち触れることになるかもしれません。

[557] 心の非季 2007/11/25 20:36


[>>553-554 ]

また一気に難しくなっちゃいました ^^ 。

[558] sunsar 2007/11/25 20:42

>>557
まあ、たとえば0.999...を1でないと考えるなら、
素朴には0.999...+0.999...=1.999...ですが、
1-0.999...=αとおくとき、
2-1.999...=αとなりそうな一方で、
2-1.999...=(1-0.999...)+(1-0.999...)=2αとなりそうで、
素朴にはα=2αを得ます。
こうした素朴な記号の使い方ができない不便な体系になるだけで、
別に0.999...を1以外のものとして定義すること自体にはそんなに問題はありません。
もっといえば、0.999...をその表現から得られるイメージを全く捨てて
0.999...=1213などと定義してもよいのです。
ただ、こういう定義はあんまり便利ではなさそうですが。

[559] 心の非季 2007/11/25 20:44


http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E5%88%87%E6%96%AD&action=edit

「デデキント切断」はウィキに載ってないのか〜。
残念。

[560] sunsar 2007/11/25 20:47

>>559
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
にはそれなりにのっていますよ。
それなりに、ですが。

[561] 心の非季 2007/11/25 20:49


 >0.999...が0.9+0.09+...である限りは実数の場合と同じ結論に達します。

結論だけいわれても・・・・・・・・、もう少し弱い頭でも理解できるような説明って考えられませんか?

無理を言って申し訳ありませんが・・・・・・・・ ^^ 。

[562] sunsar 2007/11/25 21:42

>>561
なかなか難しいですね。
まあ、とりあえず急がないこととあきらめないことが重要だと思います。

[563] 心の非季 2007/11/25 21:52


まあ、ぼちぼちと勉強していきます、はい ^^ 。

因みに僕は、もうすぐ三十三になるオッサンです ^^ 。

[564] sunsar 2007/11/25 21:55

>>563
そうなんですか。なかなかまとまった時間を得るのは難しいかもしれませんね。
とりあえず、>>560 でも挙げた
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を読んで頂いた上での疑問点を挙げてもらったほうが、
いろいろと指摘しやすいのではないかと思います。

[565] 心の非季 2007/11/25 22:50


http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339
└ 1=0.99999....? - 教えて!goo

「 A No.9 」のところをザッと読んでみましたが、
途中で躓いちゃって・・・・・・・・・・。
明日、もう一度、読んでみようかな。

[566] 心の非季 2007/11/25 22:55


>>564

そのページは、このスレで以前にも紹介されてましたよね。
今日も「実数の切断」のところを読んだんだけど、まだ理解できないでいます。

そうですね、急がず焦らず諦めず、で勉強していきたいと思います。

[567] keita 2007/11/26 00:45

煽っているのは、落ち武者さんではなく、貴方の方だと感じている
ROMerは多いと思います。私も、その一人です。

>>499
>だから、「"カテゴリー分けされた掲示板"の"数学カテ"」でも、
>包括的視点は大切だということです。

への答えは、何故か答えのほうが先に

>>498
>つまり、返ってくると期待できるのは「数学」の答えというわけです。

と書かれてあります。

数学カテ上のスレで行われている、数式についての話題に参加して、
貴方の問いかけに対して数学的に返答している相手に、
その答えは非数学的視点に欠ける と言ってみても、お門違いというか、
木に寄りて魚を求む(おっと、八百屋で魚を求む だった)というか、
つまり、>>485 でしょう。

あまり喧嘩腰にならないことです。

[568] keita 2007/11/26 00:45

>>497
>ちゅうか、これが円になるってのが、「1=0.999..」の概念なんじゃないの?
>ほんとうに「無限正多角形≠円」なの?

「正N角形のNをどんどん大きくしていけば、その周長は、どんどん円周に近くなる。」
ならば、数学として正当化できる範囲だし、「1=0.999..」の概念と一致すると思います。
ただし、ここで考えているのは、正N角形の周長だけです。

「どんどん大きくしていけば、どんどん」のことを、極限と言いますが、
極限概念にも、「どんどん、どんどん」の連想だけはでなく、正確な定義が必要です。
連想だけでものを言っては、数学的に内容を持った議論はできません。

「0.999..」や「Nをどんどん大きくした、正N角形の周長」には、よく知られた
慣用的な定義がありますから、それをそのまま使うか、その定義を提示して
その場で再定義することができます。

「無限正多角形」には、よく知られた標準的な定義がありません。
それが「=円」なのか「≠円」なのか議論したければ、その問題を挙げた人が、
「無限正多角形」という言葉が何を指しているのか、その意味を示さなければ
議論が始まりません。貴方の言う「無限正多角形」って、いったい何ですか?

「無限正多角形」を定義するのは、結構難しいと思いますよ。
正三角形、正方形、正五角形、… の「どんどん」先を無限正多角形とするなら、
頂点の個数は、自然数の総数と同じであって欲しいような気がしますが、
円周上の点の個数は、実数の総数と同じです。
自然数の総数と実数の総数が同じでないことは、証明されています。

これが、貴方にとって>>470 への答えになるでしょうか?

[569] keita 2007/11/26 00:46

矛盾の無い議論が展開できる という意味です。

そうは言っても、「1=0.999..」となるような「...」の定義のほうが標準的で
あることに変わりはありませんが。どの世界にも、その世界の慣用があるものです。

「妥当」を、「貴方の気持ちにぴったり合う」という意味で使うのなら、それは
他人と議論するのではなく、胸に手をあてて自分に問いかけてみるほうがよいでしょう。

その点では、この話題は「しか」の問題と似ているのかもしれません。
>>425 では、それが言いたかったんですか?

[570] keita 2007/11/26 00:49

↑エディタからのコピペでミスしました。

>>465
>>0.999...に1と異なる意味を与えることは不可能ではありません。
>可不可の問題もあるかと思いますが、妥当性で考えた場合、どうなると思いますか?

数学的には、どちらも同様に「妥当」だということです。
この場合、「妥当」とは、「...」の意味をそのように定義しても、それはそれで
矛盾の無い議論が展開できる という意味です。

そうは言っても、「1=0.999..」となるような「...」の定義のほうが標準的で
あることに変わりはありませんが。どの世界にも、その世界の慣用があるものです。

「妥当」を、「貴方の気持ちにぴったり合う」という意味で使うのなら、それは
他人と議論するのではなく、胸に手をあてて自分に問いかけてみるほうがよいでしょう。

その点では、この話題は「しか」の問題と似ているのかもしれません。
>>425 では、それが言いたかったんですか?

[571] keita 2007/11/26 00:51

しまった!
>>500 - を読んでいなかった。
今頃何を書いているんだろう。
御二方、失礼しました。

[572] 心の非季 2007/11/26 09:52


言葉の意味論的に考えることによって、少なくとも僕は、よりクリアーに把握することができましたよ。
無知な自分が恥を承知で質問したわけですが・・・・・、
なんか、嫌味っぽいことを言われてるなと思いながらも極力冷静に対応したつもりです。
まあ、僕の気持ちとしては、そういうことなんです・・・・・・・・・が、
keita さんのように感じられた方には甘んじてお詫びします。

妥当性について考えたことにより、妥当性がないことが分かるってのも、意味あることです。
「しかない」の問題も、サンサーラさんが指摘してくれた「くらい」というニュアンスがキーポイントだったんじゃない?
「ニュアンスを持ち込むな」よりも、
「その言葉にあるニュアンスをクリアーにしていこう」ってほうが功を奏すんじゃないだろうか。

ただ、「しかない」の問題については、「くらい」というニュアンスがない場合も考えられると思います。
例えば、2万0010円の商品を買おうとして、「2万円しかなくて買えない」と言った場合には、
「2万円くらい」じゃ、逆に変ですよね!?

[573] 心の非季 2007/11/26 10:08


ちょっと待てよ・・・・・・・。

「1万9800円」の商品を買おうとして、「2万円【しか】【ない】から買おうかどうしようか迷うなあ」と言った場合で、
実際は「1万9900円」【しか】【な】かった時・・・・・・・・・などなど・・・・・・。

もうちょっと考察が必要かも!?

[574] 心の非季 2007/11/26 11:26


「名古屋市 ならば 愛知県」は真。
「愛知県 ならば 名古屋市」は偽。

名古屋市が十分条件で、愛知県が必要条件ということだと思う。
一般に小さいものが十分条件で、それを完全に包む大きいものが必要条件となる。
イメージとしては、こんな↓感じ。

┏━┓
┃必┗━┓
┃┏━┓┃
┃┃十┃┃
┃┗━┛┃
┗━━━┛
┏━┓
┃愛┗━┓
┃┏━┓┃
┃┃名┃┃
┃┗━┛┃
┗━━━┛

しかし、ここで、
「A : 名古屋市ならどこへ行っても良い」と、
「B : 愛知県ならどこへ行っても良い」で考えると、

「BならばA」のほうが真で、「AならばB」のほうが偽になる。
なんか、・大きい方(・B・愛)が十分条件になったみたいで違和感を感じる。
いや、BというものがAというものに比べて小さいということなのだろうが・・・・・・、
なにかイメージし辛くなってしまった。

「行っても良い場所」というファクターを作って、よりクリアーな命題にしてみよう。

「α : 名古屋市 ならば 愛知県」

「β : 名古屋市 ならば 行っても良い場所」
「γ : 愛知県 ならば 行っても良い場所」

αとβが真の時で考え・・・・・・・・ても発展はなさそうだ。
αとγが真の時で考える。
すると、「名古屋市 ならば 愛知県」—「愛知県 ならば 行っても良い場所」
という風に繋げることができ、
「β : 名古屋市 ならば 行っても良い場所」を導くことができた。

はい、スレ違いなんでスルーしてください ^^ 。

[575] 心の非季 2007/11/26 11:38


「行」は、行っても良い場所のこと

┏━┓
┃行┗━┓
┃┏━┓┗━┓
┃┃愛┗━┓┃
┃┃┏━┓┃┃
┃┃┃名┃┃┃
┃┃┗━┛┃┃
┃┗━━━┛┃
┗━━━━━┛

┏━┓
┃愛┗━┓
┃┏━┓┃
┃┃名┃┃
┃┗━┛┃
┃行┏━┛
┗━┛

[576] 心の非季 2007/11/26 12:21


┏━┓
┃愛┗━┓
┃┏━┓┗━┓
┃┃行┗━┓┃
┃┃┏━┓┃┃
┃┃┃名┃┃┃
┃┃┗━┛┃┃
┃┗━━━┛┃
┗━━━━━┛

愛知県内の【ある】範囲の場所に【しか】行っては駄目。
名古屋市内【なら】【何処へ】行っても良い。

ただし、行っても良い範囲の場所は、愛知県内と同値の場合もあるし、
名古屋市内と同値の場合もある。

[577] 心の非季 2007/11/26 18:46


>>565  のリンクページについて、すこし疑問点を挙げてみます。

┃S = m(0.9)  ,   G = M(0.9) ∪ {0.9}     とは、

┃S が例えば 0.9 ,  0.89 ,  0.899 ,  0.8999 ,  ..... を含んでいて、
┃G は例えば 0.9 ,  0.91 ,  0.901 ,  0.9001 ,  ..... を含んでいるという意味です。

┃S = m(1.41)  ,   G = M(1.41) ∪ {1.41}     とは、

┃S が例えば 1.40 ,  1.409 ,  1.4099 ,  1.40999 ,  ..... を含んでいて、
┃G は例えば 1.41 ,  1.411 ,  1.4101 ,  1.41001 ,  ..... を含んでいるという意味です。

という文章を作ってみましたが、これは合ってますか?

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

┃すなわち、 [S] の値は
┃(b) の場合 ■S■ の中に具体的に含まれている有理数ですが、一方

というページの中にある文章は、

┃すなわち、 [S] の値は
┃(b) の場合 ■G■ の中に具体的に含まれている有理数ですが、一方

の間違えでしょうか?

[578] BERRY 2007/11/27 02:08

どこが変?
程度を表す言葉なんだから嘘ではないでしょ。
もちろん数学的命題としては不親切な文章。
ただし生活面では「文脈を読む」ことの方が意味を持つだけ。

この2つが結局今まで散々議論してきたことだろうね。
これが分からないなら後の話は文系の板へ行くべきです。

[579] BERRY 2007/11/27 02:10

ちょ……
考 察 し て ま と め て か ら 書 き 込 ん で く れ

[580] 心の非季 2007/11/27 05:52


┃例えば、2万0010円の商品を買おうとして、「2万円しかなくて買えない」と言った場合には、
┃「2万円くらい」じゃ、逆に変ですよね!?

この↑場合に「くらい」というニュアンスがある時、その「くらい」は、
買えない範囲の誤差【しかない】「くらい」の意味に限定されると!?

う〜ん、そうかな〜、そうとは思えないけど・・・・・。

┃もちろん数学的命題としては不親切な文章。
┃ただし生活面では「文脈を読む」ことの方が意味を持つだけ。

いや、人によって捉え方が変わるような命題ではないなら、
たとえ不親切な文章だったとしても・・・・・・・、
いや、不親切な文章を親切な文章に変えていく作業こそ、
数学的なものなんじゃないのかなあ!?

[581] 心の非季 2007/11/27 06:31


そうそう、サンサーラさんが指摘してくれた、
「【くらい】」というニュアンスは、「【しか】」ではなくて「【50万円】」のほうに付随するものだということを忘れてた。

文脈により変わってくる、その数字の範囲や意味ってのがあるのかな!?

「50万円しかなかった」の場合には、多分に「くらい」というニュアンスを含むが、例えば、
「50万0042円しかなかった」の場合には、まず「くらい」というニュアンスは含まない、と。

ふむふむ。

[582] sunsar 2007/11/27 10:48

>>577
前半はSが0.9を含むというところ以外は正しいです。
後半もあなたの訂正が正しいです。

「買えない」の意味も、たとえば「本当に買えない」のか、
「買う事はできるけど経済的に実質破綻するから買えない」のか、
複数の意味があります。
が、こうしたことについて考えるのは語学か文学でしょう。
少なくとも、数学ではありません。

[583] 心の非季 2007/11/27 14:44


「0.9」は完全に変でしたね。
下がってから上がっちゃってるし・・・・・。
あそこは「0.8」を入れるのが一番に相応しいかな!?

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

 >「買えない」の意味も、たとえば「本当に買えない」のか、
 >「買う事はできるけど経済的に実質破綻するから買えない」のか、
 >複数の意味があります。

でも、一つの文章には一つの意味しかないと思いますよ。

 >が、こうしたことについて考えるのは語学か文学でしょう。
 >少なくとも、数学ではありません。

言葉の意味を明確化するために集合論が使われたりしますから、
数学的なもののようにも感じます。
数学というものは科学と違って演繹的な思考法ですよね。
その元となる公理や定義というものは、
直観把握の言葉に頼っているわけで・・・・・・・。

[584] BERRY 2007/11/27 15:02

感じるだけで、数学ではない。

[585] 心の非季 2007/11/27 15:06


でも、>>565  のリンクページの解説は、まだ理解できていません ^^ 。

 ┃◇ 0.999... という無限小数も、
 ┃S = m(0.9) ∪ m(0.99) ∪ m(0.999) ∪ m(0.9999) ∪ ...
 ┃という「無限個の集合」の和を表している。

  ┃S = m(0.9)  ,   G = M(0.9) ∪ {0.9}     とは、
  ┃
  ┃S が例えば 0.8 ,  0.89 ,  0.899 ,  0.8999 ,  ... を含んでいて、
  ┃G は例えば 0.9 ,  0.91 ,  0.901 ,  0.9001 ,  ... を含んでいるという意味です。

「m(0.9)」「m(0.99)」「...」 ってのが良く分からない。
「無限個の集合」の和 が、「0.999...」になるのかどうかも良く分からない。

「0.9」「0.99」「...」 なら分かるんだけど・・・・。

[586] 心の非季 2007/11/27 15:19


感じるだけでは、文学にも語学にもならない!?

[587] sunsar 2007/11/27 15:25

>>583
>でも、一つの文章には一つの意味しかないと思いますよ。
そういうことではなく、「買えない」の意味も「50万円」同様文脈依存だと言っているんですよ。
そして、それらは「しか」とは関係ないと言っているんです。

>>585
m(0.9),m(0.99),のようなどのm(0.99...9)←9は有限個も含む集合として
0.999...を定義する、ということです。
切断(の仕方)によって実数を定義するというリンク先の説明をよく読みましたか?
実数が切断として定義されているのです。

[588] 心の非季 2007/11/27 16:17


 >そういうことではなく、「買えない」の意味も「50万円」同様文脈依存だと言っているんですよ。
 >そして、それらは「しか」とは関係ないと言っているんです。

文脈依存で変わってしまう言葉でも、一つの文脈に限れば一つの意味に限定できるわけで、
その限定作業と、そこからの真偽の判断は、けっこう数学的なものなんじゃないだろうか?

 >そして、それらは「しか」とは関係ないと言っているんです。

「しか」にばかり目が行っていた僕の堅い頭を、
柔軟にしてくれたサンサーラさんには感謝しています、はい。

 >切断(の仕方)によって実数を定義するというリンク先の説明をよく読みましたか?

「定義した」というのは分かったんですが・・・・・。
もう一度読んでみます。

[589] sunsar 2007/11/27 16:27

>>588
>その限定作業と、そこからの真偽の判断は、けっこう数学的なものなんじゃないだろうか?
「数学的なもの」とは何ですか?
「論理的なもの」であればまあそうだと思いますが、
数学的なものであるためには「面白い構造を含む対象」であるべきだと思います。
日常語の意味を詳しく見たところで「意味あんまり考えずに使ってた」というオチが待ち受ける以上、
少なくとも数学的には面白い対象ではないでしょう。
もっと譲歩しても、少なくとも1と0.999...に関する話とは関係ないです。

[590] 心の非季 2007/11/27 16:53


  ■ ろんり ‐ がく 【論理学】
  ┃
  ┃正しい思考過程を経て真の認識に達するために、思考の法則・形式を明らかにする学問。
  ┃伝統的なものはアリストテレスによって体系化され、スコラ哲学に受け継がれた形式論理学。
  ┃現代においては記号と数学的演算を使用して思考をより厳密化しようとする記号論理学が成立。
  ┃一方、対象を客観的に認識する能力としての思考を取り扱うものにカントの先験的論理学がある。
  ┃ヘーゲルはこれを弁証法的論理学に発展させた。

 >「面白い構造を含む対象」であるべきだと思います。

面白い構造とは何ですか?
また、そうあるべきだと思う理由はなんですか?

 >もっと譲歩しても、少なくとも1と0.999...に関する話とは関係ないです。

意味論的に考えていきたいってだけのことですよ。
そもそもが「ちょっと関係ないけど、ここで訊いてみる、パート2。 >>425 」なわけですが、
べらぼうに外れてるわけでもないよねってこと。

[591] 心の非季 2007/11/27 17:15


「0.999...」にも妥当な意味の解釈の仕方があるわけでしょ!?

「>意味をあんまり考えずに使ってた」り、妥当ではない解釈の仕方をしていれば、
「=1」にならなかったりするわけで・・・・・。

いや、僕は、「=1」であることを疑ってたわけではありませんよ。
合点がいくように、その意味するところを、もっと詳しく知りたかっただけです。

ただ、いまだに、「無限個の集合の和」というものに合点できないでいるんですけどね ^^ 。

[592] sunsar 2007/11/27 19:08

まあ、単純にみんながスルーすればよかっただけの話かもしれませんね。
ごめんなさい。

[593] keita 2007/11/27 23:59

>>591
遅レスなのでスルーされてしまったのでしょうが、
「妥当」については、>>570 です。

「2万円しかなくて買えない」については、
「2万円」や「買えない」の語義の曖昧さも確かにありますが、
「しか」の語義だけの範囲でも一応の説明はつきます。

あまり穿たずに普通に考えて、
「2万円しかなくて」は、「丁度2万円持っている、そして
2万円を少ない金額だと感じている」という意味を表します。
「しか」に込められた、「少ない」というニュアンスは、
実際の金額がそれ以下であることを示すのではなく、
丁度その金額であることへの感想を示しているのです。

「体重が50�しかない」も同様です。

このような話題は、全く数学上の問題ではなく、国語の問題
であるように思います。とはいえ、「しか」を国語辞書でひいても
ここまで詳しくは書いていないでしょうから、日本語の常識の問題
または文学の問題と呼んだほうがいいのかもしれません。

[594] 心の非季 2007/11/28 05:30


 >数学的には、どちらも同様に「妥当」だということです。
 >この場合、「妥当」とは、「...」の意味をそのように定義しても、それはそれで
 >矛盾の無い議論が展開できる という意味です。

それは「実数の範疇で考える」というニュアンスがあるのにも・拘(・かかわ)らず、
そのことを明確に書いてない教科書の問題とかがあるんじゃない?

ちゅうか、良く分からないのは、どんな範疇で考えると
「>0.999... に 1 と異なる意味を与えること」を妥当なものにできるのかってことです。
逆に、範疇を有理数に狭めたときなのかな?
いや、それだと明らかに矛盾するよね。
・・・・・・・・・。
そうか、そうすると、大きな範疇にしたところで、
立場が逆の同じ矛盾が生じることになるわけか〜!?

・・・・・・・・・・。

[595] 心の非季 2007/11/28 06:03


 >「しか」の語義だけの範囲でも一応の説明はつきます。
 >・・・・・・・・・・・・・
 >・・・・・・・・・・・・・
 >丁度その金額であることへの感想を示しているのです。

「【しか】」は、丁度その金額であることへの感想を示しているのだが、
「【2万円】」のほうが、丁度その金額ということを表していない、
ってことなのかな!?

う〜ん、どうなんだろう?
なんか複雑ですよね。

 >このような話題は、全く数学上の問題ではなく、国語の問題
 >であるように思います。とはいえ、「しか」を国語辞書でひいても
 >ここまで詳しくは書いていないでしょうから、日本語の常識の問題
 >または文学の問題と呼んだほうがいいのかもしれません。

どう呼ぼうと、言葉の問題は、論理学的なものであり、
現代ではそれを集合論的に解こうとするのが主流なのでは!?

[596] 心の非季 2007/11/28 06:16


 >まあ、単純にみんながスルーすればよかっただけの話かもしれませんね。

棘無しのコメントには出来ませんか ^ ^ ?

[597] keita 2007/11/28 09:43

>>594
>どんな範疇で考えると
>「>0.999... に 1 と異なる意味を与えること」を妥当なものにできるのかってことです。

それを示すには、実数の定義を公理化して、それを満たす数体として
標準実数体(平素「実数」と呼んでいるもの)の拡大体である超実数体が存在することを、
モデルを挙げて示せばよい。要するに、超準解析です。

超準解析については、日本語で読める非常に良い教科書があったのですが、
昨年(一昨年だったか?)絶版になってしまいましたね。

>>595
>う〜ん、どうなんだろう?

丁度だって言っているでしょう?

>どう呼ぼうと、言葉の問題は、論理学的なものであり、

言葉の曖昧な印象を解釈する問題は、辞書学上の問題であり、
論理学とは、あまり関連がないと思いますよ。まして、集合論とは。

[598] 心の非季 @XP 2007/11/28 14:24


 >丁度だって言っているでしょう?

「【2万円】」のほうも、丁度その金額という意味での「【2万円】」であると?

「50万円しかボーナスがなかった」の場合の・・・・・・・、
「しかない」や「50万円」の意味はどうなるとお考えですか?

 >言葉の曖昧な印象を解釈する問題は、辞書学上の問題であり、
 >論理学とは、あまり関連がないと思いますよ。 まして、集合論とは。

一つの文の文意としては、曖昧ではなく、一意的だと思いますよ。
まあ、どの分野で扱うのが適当かは良く分かりませんが、
関連という観点からすれば、関連あり、なんじゃないでしょうか。
因みに僕は、全ての学問に連関性があると思ってます。

ちゅうか、関係なくても、ここで訊いてみたかったパート2なんですけどね ^ ^ 。

 >それを示すには、実数の定義を公理化して、それを満たす数体として
 >標準実数体 (平素「実数」と呼んでいるもの) の拡大体である 超実数体 が存在することを、
 >モデルを挙げて示せばよい。 要するに、超準解析です。

そこまで深入りする意欲はないかも ^ ^ !
でも、少し質問。
超実数体というものは、実数体を包含する概念なのでしょうか?

[599] 2007/12/05 16:52

1≠0.999…(0.999…<1)と仮定すると、1,0.999…(循環小数)は実数であるので
実数の稠密性?連続性?より0.999…<x<1となる実数xが存在するはずである?
また、仮定より(1+0.999…)/2(二つの数の平均?)の値が、xの中に含まれていなければならない?
(1+0.999…)/2=1.999…/2=0.999…
となる
よって、0.999…<0.999…<1となるが、何か不等式がおかしい
したがって、0.999…<x<1となる実数xが存在しない
ということは仮定は間違っている
ということで0.999…=1となる

[600] 心の非季 2007/12/06 17:36


>>599

「 1/3 = 0.333… 」 の証明を、その証明と同じようにできますか?

[601] 心の非季 @XP 2007/12/07 08:07


1/3 = 0.333…

両辺を3倍して

1 = 0.999…

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

ってゆうか、

1/3 = 0.333…

ならば、3が以下に無限に続く数として、
そのまま受け入れることが出来るかも!?
0が以下に無限に続く数のように。

だから、それを元にして逆に「 1 = 0.999… 」を証明してるものもあったわけか。
ふむふむ。

[602] YOU!買っちゃいなよ 2007/12/08 11:21

これはチェンメです。

ジャニーズのCDを300枚買わないと、あなたの家族、恋人、友人が死にます。
それでも良ければ無視してください。

ちなみに私の友人は先週、死にました・・・・。
恋人は3日前から連絡がとれません・・・・。
弟は交通事故で現在、意識不明の重体です・・・・。

千葉県中央区弁天町72−3
TEL043−252−1701

[603] ミニ 2007/12/11 01:44

多分等しくないだろう。

[604] cool 2007/12/15 14:21

大体どんな式を使って等しくなろうともそれは画質が落ちたようなもの

[605] YOU!買っちゃいなよ 2007/12/16 13:18

これはチェンメです。

ジャニーズのCDを198枚買わないと、あなたの家族、恋人、友人が死にます。
それでも良ければ無視してください。

ちなみに私の友人は先週、死にました・・・・。
恋人は3日前から連絡がとれません・・・・。
弟は交通事故で現在、意識不明の重体です・・・・。

千葉県中央区弁天町72−3
TEL043−252−1701
前田敦子(22)

[606] PB 2008/01/17 21:46

収束っぽい表記を使ってるのに、1/3=0.333333・・・になぜ違和感がないかというと、小学校で習った少数の割り算の仕方で1÷3を筆算すると、3が立ち続け自然と終わりのない計算になるからだよね。ではそれを割り算は掛け算の逆であることに注意して具体的に式で書いてみよう。

1=0.3x3+0.1 ←ここで0.3が立ち誤差0.1
1=0.3x3+0.03x3+0.01 ←ここで0.03が立ち誤差0.01
1=0.3x3+0.03x3+0.003x3+0.001 ここで0.003が立ち誤差0.001
...以下続く。

上の式のx3部分を実際に計算してみよう。

1=0.9+0.1
1=0.9+0.09+0.01
1=0.9+0.09+0.009+0.001
...以下続く。

【結論】1/3=0.333333・・・を認めるなら、1=0.999999・・・も認めなきゃ。

[607] あいう 2008/01/22 02:19

ε-δ論法とかで証明できないのかな?
|1-0.999…|<ε
みたいな感じでさ。

[608] Skyz 2008/01/22 16:45

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

知識は乏しいのですが、
解説しているページがあったので
URL置いておきます。

[609] 2008/01/22 18:48

「恥ずかしくて聞けない数学の問題」という本に

1/3=0.333333…

 と書いてあってその次に

 1=0.9999999…

 と書いてあった。

[610] アッチュ 2008/02/06 01:10

x=1/3=0.33333・・・・・・   と仮定する

   ある特定の桁数で9xの値をだすと
  x=0.333333333・・・・・・3・・・・
10x=3.33333333・・・・・・3・・・・
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
 9x=3−3・(10)^(-n)
無限桁だから Lim(n→∞){3−3・(10)^(-n)}=3
      9x≠3
       x≠1/3
      だから 0.3333・・・≠1/3
ちなみに (0.3333・・・)・3≠1

1/3を 1を3等分したもの と考えるしかないんじゃ?

[611] 野次馬そのN(N≧1) 2008/02/07 11:32

9x=3−3−3・(10)^(-n)
無限桁だから Lim(n→∞){3−3・(10)^(-n)}=3
      9x≠3
ここが意味不明なのですが。
「無限桁」の話であるなら
9x=Lim(n→∞){3−3・(10)^(-n)}=3
となりこそすれ、
9x≠3には繋がりませんよ。

[612] アッチュ 2008/02/14 02:02

無限桁だから限りなく近づくけど決して等しくなることはないから
極限をかけた時点でイコール関係は崩れると思います

無限桁でもどこまで行こうと 3−3・(10)^(-n) は
3の値は持つことはないってことを言いたかったんです すみません
だから 9x=3−3・(10)^(-n)≠3

[613] 野次馬そのN(N≧1) 2008/02/14 10:02

いや、だから等しくならないのであればそれは有限桁であって「無限桁」では無い、というのが実数と極限の扱いなのですが。

nが「有限であれば」幾ら大きくしても
3・(10)^(-n)≠0
である事とnが無限大の時、つまり
lim(n→∞){3・(10)^(-n)}=0
である事は矛盾しません。

[614] 心の非季 @XP 2008/02/14 18:08


http://blog.livedoor.jp/khideaki/archives/51055825.html
└ 数学屋のメガネ:現実存在である人間が無限を捉えることの限界

 ┃数学(形式論理)では、どんどん近づくという言い方は出来ないので、
 ┃どこかの時点で切り取って、その任意性から無限の果ての可能性を把握するという表現をする。
 ┃この場合は、目標地点と到達点の差が、任意に小さくできるということから、
 ┃極限においては目標地点と一致するのだと考える。

       (>>524


────────────────────────────────

「どんどん近づく」という動的なイメージを捨てないと駄目らしいよ。
まあ、僕の場合は、どう捨てていいのか未だに良く分かってないんだけどね ^ ^ 。
「任意に小さく」と言われても、そこにまた動的なイメージが生じてしまう。
デデキント切断も未だに理解できないままです ^ ^ 。

[615] BERRY 2008/02/15 14:44

このスレまだあったんだ
正直、スレタイのこと理解できなくても別に困らない
でも数学をやるんだったらスレタイが成り立つことも成り立たないことも理解できなきゃダメだろうね

[616] 数学者 2008/02/15 19:26

1とは0.999…の事です。

例えば1/3は割ると0.333…になります。
ここに3をかけると0.999…になります。

しかし1/3に3をかければ1になります。
これは表記上の問題なのです。

実際1は0.999…と言う循環無限小数です。
15も14.999…と言う循環無限小数なのです。

しかし、循環無限小数が“ない”ものと考えれば
√2=1.14…やπ=3.141592…と言った数がなくなってしまいます。

すなわち殆どの数が循環無限小数と言えるでしょう。

[617] 1=1.000… 2008/02/15 19:47

>すなわち殆どの数が循環無限小数と言えるでしょう。

実数と、循環小数は、どちらが多いと思いますか?

[618] 心の非季 @XP 2008/02/15 20:47


無限の果てを査定してください。

はてさて。

[619] あり 2008/02/27 17:43

http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

[620] 名無しさん 2008/03/23 00:15

2.999・・・・・・なら 保母さんで成り立つのにね

[621] the21023 2008/03/23 00:38

2.999……999だったらね。

[622] jiro 2008/03/31 15:44

>>387

数学というのは、ある意味
正∞角形=円
といっちゃう乱暴なものですw

>>394
>「0.999…」という表記が、何かの数を意味するか否かの、
>その妥当性は、もう少し議論できないでしょうか?

もう少しってどの程度?w

>どうしても、「1/3=0.333…」ありきの議論のような気がしてしまう。

そうだよ。知らなかった?w

だからいっただろう?数学は乱暴だって。

[623] 心の非季 @ XP 2008/04/03 18:11


「0.333…」というものを定点とした場合には「1/3」と一致する、
ってのが「1/3=0.333…ありき」。

そういう「ありき」の議論ではなく、
「0.333…」を定点とみる妥当性をもう少し探っていきたいってこと。

例えば、「1/1」が「1.00000…」であることと同じだと考えられる・・・・とかね。
「0」を特別視すべきかどうかみたいな議論とかもできるでしょ!?

[624] 心の非季 @ XP 2008/04/03 18:39


何も書かない時は、それ以下が「0」だと決まっている。
そもそも「0」は「ない」ことを意味する数なのだから、その妥当性はあるだろう。
そして、その、以下の決まっている数が「0」ではなく「3」である場合が、例えば「0.333…」である。
そのようにイメージすると、なんとなく定点のような気がしてくる。

みたいな感じの説明とかね。

いや、こんなんじゃ、なんの説明にもなってないかも知れないけどね ^ ^ !?
・・・・・まあ、デデキント切断を学習しないとね。

[625] 心の非季 @ XP 2008/04/04 21:27


「0.999…9」と「0.999…」の違いって、なんだろう?

制限時間のある食べ放題と、制限時間のない食べ放題・・・みたいな違いかな!?

「0.999…9」のほうは、「…」にどれだけ多くの「9」を入れても良いんだけど・・・、
要するには「入れ放題」なんだけど・・・・・・、無限ではない任意の「いくつかの9」を入れなきゃいけない。

「0.999…9」と「0.999…」では、「…」の意味合いが違ってる!?

[626] the21023 2008/04/04 21:42

なんで無理に喩えるんですか?

[627] さな 2008/04/04 22:21

1は1.00000000……といえるんですか?

[628] 2008/04/04 22:58

ばかか、てめえら。
等しくねえよ

[629] メシスト 2008/04/05 02:20

0.999999・・・9
は、いつかは終わりのあるもの

0.999999・・・
は終わりは無く永遠に続くもの

って見方でいいですか?

[630] 心の非季 @ XP 2008/04/05 09:02


http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

ここ↑に書いてあった。

┃省略記号 " … " の意味は厳密に特定されなければならない。
┃ここでの " … " の用法は、言語もしくは 0.999…9 における " … " の用法とは異なる。
┃後者の用法は、有限な部分を明言しなかったり省略したりする用法である。
┃循環小数に対して用いるときには、 " … " はある無限な部分を明言しないことを意味する。

[631] ??? 2008/04/05 21:39

1=0.99999999・・・というのはなぜかというやつでx=0.9999・・・として10xからxをひいて9x=9になるからというのがありますが
例えば0.9×10=9のように一番右の位が10倍になるので10x−1x=
10x=9.99999999999・・・9990(一番右の9が1xより1桁左にいく)
−x=0.99999999999・・・9999
になるので9x=8.99999999999999・・・9991になり8.99999・・・91÷9=0.9999999999・・・999になります。あと3分の1×3=1だからというのもあります。ですが3分の1=0.33333・・・ではなく0.33333・・・333余り0.00000・・・1なので0.333333・・・333×3+0.000・・・0001=1だからこれもだめです。つまり0・99999・・・=1ではありません。

[632] the21023 2008/04/05 23:12

x,10xに"一番右"はありませんよ。

[633] ブー 2008/04/06 04:05

皆さん、x=0.999・・・・としていますが、果たしてこれは正しいのでしょうか?
ずっと前に無限大に関する(∞±n=∞等の)演算が書いてありましたが、もし仮に、0.999・・・・が無限大である(発散する)場合、
10x=9.999・・・・
x=0.999・・・・
より9x=9、よってx=1という計算そのものが破綻してしまいます。
実は皆さんの直感の通り、0.999・・・・は収束し、x=0.999・・・・(有限確定値)と置く事が出来ます(まだ1=0.999・・・・は示していない)。
その証明は至って簡単です、、、がそこで出てくるのが皆さんが議論なされています実数の連続性です。というか、実数の連続性と同値なある定理(公理)から導かれる諸定理によります。

えーと、長文すみません。。。

[634] aki 2008/04/06 11:34

0.999・・・・<2

[635] ??? 2008/04/06 11:47

確かに一番右は無限小数(循環小数)だから無いですけど、無限だから無限分の1の位とは表せるんじゃないでしょうか。無限分の1×10の計算に反するでしょうが一桁ずれるということを踏まえると1桁ずれるんじゃないでしょうか。

[636] 落ち武者 2008/04/06 12:39

>>635
「ヒルベルトのホテル」という話があってだな…。

[637] keita 2008/04/06 23:14

で、「無限分の1の位」の1桁下は、何の位だってんだ?

[638] 心の非季 @ XP 2008/04/08 08:24


満室のヒルベルトンホテルから一組がチェックアウトしても・・・・・・・、まだ満室?

[639] ブー 2008/04/08 13:16

0.999・・・<2はどう示すのですか??
実数の連続性とは要約すると、どんなに鋭い斧で実数の直線をぶった切っても、その箇所の実数は存在するという事(切った手応えを感じる事が出来る)です。仮に有理数のみの直線ならばはためには繋がっているように見えても、点の集まりなので実際に切ると、有理数でない部分を切ってしまう事もあります(斧で切った手応えが無い)。しかしながら、任意の2つの有理数の間には必ず有理数が存在します。これを有理数のチュウミツ性と言います。無理数に関しても、同様です。
通常、実数の連続性を仮定し、切断した実数を境に最大値、最小値、上限、下限を定義し、ワイエルシュトラスの定理、区間縮小法、コーシーの判定法(実数の完備性)が実数の連続性と同値である事を示し、実数の性質の基礎を学びます。
ちなみに、1=0.999・・・を示す方法として、思い浮かぶのは2つですが、どちらもワイエルシュトラスの定理から「有界なる単調数列は収束する」という定理を本質的に使います。一つは0.999・・・が必ず収束する事を確認し、極限の四則演算が行える事を明言してから、x=0.999・・・と置いて議論すれば良いでしょう。もう一つのやり方は、数列{0.9・・・9(小数点以下n桁)}の上限が1である事を示せばオーケーです。これは背理法を用いれば簡単です。

[640] jiro 2008/04/14 16:06

>「0.333…」を定点とみる妥当性をもう少し探っていきたいってこと。

だからもう少しってどの程度よw

いっとくが「・・・」に関して云えば
・任意の自然数に対応した桁の位置がある。
・逆に、どの自然数にも対応しない桁はない。
・そして「333・・・」という場合、どの桁の数字も3である。
これだけでOK

[641] 名無し 2008/04/14 20:34

1=0.999…ってのは議論するも何も常識

[642] 心の非季 @ XP 2008/04/15 19:02


 > だからもう少しってどの程度よw

ゼロじゃなければ、どれだけ少しでも・・・・・少しですよ ^ ^ 。

------------------------------------------------------------

「0.333…3」と「0.333…」の「…」の意味は違うわけでしょ!?
その辺の意味をクリアーにしていく作業が大切だと思うってことです。

[643] 地球のウンコ 2008/04/16 00:57

このスレの元々の問題「1と0.999・・・・・・は等しいのか?」は
1/3=0.333…(もしくは、1/9=0.111…)の両辺に同じ数字をかけたから、もしくは
x=0.9999・・・として10xからxをひいて9x=9になるから、で出てきた問題のはず。
等しくないとの主張は少数あるようだが、結局のところ無限小数になるべきこの小数を有限と捉えてしまっているから違いが出るのだと思う。無限小数の『無限』を抽象的にでもイメージできるか否か?ここの所がポイントになるのではないかと思うのだが、如何なんだろうか?
さて具体的に質問よろしいでしょうか?

>>634 (&>>639 )で、「 0.999・・・<2 」という文章がありましたが、これは「 0.999・・・<1 」の間違いではないんですよね?何故ココで「2」という整数が出てくるのか?正直コレが疑問になっていたんですが、もうギブアップ。いくら考えても私バカだから……出来ればご説明願えます?

[644] Katz 2008/04/19 14:21

>>642
> 「0.333…3」と「0.333…」の「…」の意味は違うわけでしょ!?

0.333…3 という表記はありえない、という事では? もしも「…」で「無限に並ぶ3」を表したいと考えているならば。

[645] 心の非季 2008/04/19 21:21


「0.333…3」の「…」は、「無限に並ぶ3」を表してない。
ってことだと思います。
「0.3」も、「0.33」も、「0.333」も、「0.3333」も、「0.33333」も、どこまでいっても、「1/3」そのものにはならない。
これはイメージし易い。

ただ、「無限に並ぶ3」というのがイメージし辛い。
定点を意味しているのかどうか・・・・。

[646] the21023 2008/04/19 21:37

「定点を意味する」っていうのがどういう意味かよくわからないんですけど、
0.333……が数直線上でぶるぶる動いたりするんですか?

[647] 心の非季 2008/04/19 22:03


数直線上の一つの点を表してる・・・・・、もしくは表せてる・・・・・、のかどうか・・・・・・。

[648] 心の非季 2008/04/19 22:05


いや、表せてる、ってのが結論になるんだろうけど・・・・、

その結論ありきでは納得できないってことですね。

[649] keita 2008/04/20 01:10

納得できないね。
「数直線上の一つの点を表してる」の定義を述べよ。

[650] 心の非季 2008/04/20 10:32


>>649

ごめんなさい。
僕には出来ません。

[651] Katz 2008/04/20 11:59

逆向きに考えてみてはいかがでしょうか?

わかりやすく、極細のシャーペンの芯を用意します。長さ5cmくらいですよね。目の前に横向きに置きます。左端を原点とし、左端からの長さを実数に対応させます。

えいやっと、ポッキンと折ります。折った長さの表す数は、0.333…でしょうか?
違うならもう一度新しいシャーペンの芯を用意します。またポッキンと折ります、今度は違う位置で。今度は0.333…でしょうか?

という作業を繰り返します。「今までに出現した長さとは必ず違う長さで折る」のがポイント。
「シャーペンの芯」を「折る」だと色々な問題が発生しますが、ここは一つ、その辺の物理的制約には目をつぶってください。数学的に理想的な状態を考えましょう。

・折った長さは0〜5の範囲の実数すべてに渡る
・ビンゴ!になるまでいくらでも繰り返せる。無限をはるかに超えた無限回の更にかなたまで、試し折りできる。

こうした時、いつかどこかで「これは0.333…に一致する」と言えるかどうか? 逆に言えば、0.333…と表現される何かは、いつかどこかで必ずビンゴ!と言えるモノなのでしょうか?

[652] the21023 2008/04/20 12:48

それだと有効数字無限の2もどれだけ多くやっても(無限は別なのかな?)でない気がしますけど、
これは数学的に理想的な状態に反するんですか?

[653] 落ち武者 2008/04/20 13:13

折り続ける限り0.333…以外の数で止まらない。

[654] 落ち武者 2008/04/20 14:38

てか
>折った長さの表す数は、0.333…でしょうか?
ってどう判断するんだろう?

[655] afo 2008/04/20 21:24


─=0.333333・・・∞

これに3をかけると、

─=0.9999999・・・∞

つまり、
1=0,999999・・・∞
等しいということになる。

[656] 心の非季 2008/04/20 22:14


π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …

この↑「=」や「…」のほうがイメージし易いのかも!?
「≒」にすると変な感じがする。

まあ、でも、表しきれないものを表そうってんだから・・・・・、
認知の限界を超えているのかもね。

[657] keita 2008/04/20 23:04

>ここは一つ、その辺の物理的制約には目をつぶってください。
>数学的に理想的な状態を考えましょう。

その「理想的な状態」を先に定義して話を始めないと、

>その結論ありきでは納得できないってことですね。

と言われてしまうよ!というのが、>>649 の趣旨だったり。

[658] jiro 2008/04/21 14:40

>「無限に並ぶ3」というのがイメージし辛い。
>数直線上の一つの点を表してる・・・・・、
>もしくは表せてる・・・・・、のかどうか・・・・・・。

表せる、と考える。

>その結論ありきでは納得できないってことですね。

そもそも、納得は正しさを保証しない。

[659] jiro 2008/04/21 15:05

心の非季「その結論ありきでは納得できないってことですね。」
心の不季「正しいことなら、必ず君が納得できるという証明は?」
心の非季「・・・え?」
心の不季「いや、だから、君はいま納得できないといったよね?
     それって”オレが納得できないから正しくない”って
     主張だよね。これって対偶をとると
     ”正しいことなら必ずオレ様が納得できる”
     ってことだよね。
     これってずいぶん尊大な物言いだと思うけど、どうよ」
心の非季「・・・そ、そうかな?」
心の不季「そうだよそうだよソースだよ(をひ)
     せめて、
     ”正しいかもしれんが、オレには理解できん。
      残念無念!”
     とかいうならわかるけどさあ。
     なんか、オマエの言い方って
     ”正しいのに自分に理解できないなんてムカつく”
     なんて、そこらのギャルみたいな不貞腐れようで
     スッゲームカつくんだよね」
心の非季「・・・はぁ・・・」

[660] 今までROM そしてこれからも 2008/04/21 18:39

心の非季さん。
数学というものをもっと勉強してきてください。
あなたの言っていることは数学よりも哲学に近い。
まぁ30過ぎならそっちに偏っても仕方ないけれど、とにかくここは数学板です。

端的に言うと?

カエレ

[661] 心の非季 2008/04/21 19:23

・・・はぁ・・・

[662] 心の非季 2008/04/21 19:50



納得できないのは、たぶん、説明が不十分だからだと思います。

対偶をとると

説明が十分であれば、たぶん、納得できると思います。

という尊大さかな ^ ^ !?
これのが分かり易くない?

[663] 今までROM そしてこれからも 2008/04/21 21:13

・・・はぁ・・・

[664] 心の非季 2008/04/21 21:21


間違ってたかも!?

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

説明が不十分であれば納得できない

対偶をとると

納得できる時は説明が十分である時だ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

納得できない時は説明が不十分である時だ

対偶をとると

説明が十分であれば納得できる

[665] 心の非季 2008/04/21 21:33


とりあえずは、前者を真、後者を偽としておきましょう。

[666] 今までROM そしてこれからも 2008/04/21 22:06

ハァハァ。。。

もう書き込みやめますわ
スマソ

[667] 心の非季 2008/04/22 08:43


�納得できていないのは確定している。
  (名古屋市じゃないことは確定している。)

�納得できていないから、十分な説明がないってことになる。
  (名古屋市じゃないから、愛知県じゃないってことになる。)

言いかえると、

�納得できてない時は、必ず、十分な説明がない時だ。
  (名古屋市じゃない時は、必ず、愛知県じゃない時だ。)

対偶をとると、

�十分な説明がある時は、必ず、納得できる。
  (愛知県である時は、必ず、名古屋市である。)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

これでは確かに尊大ですね ^^ 。

でも、�に飛躍があるんですよね。
僕は、�を主張した記憶が御座いません。

[668] jiro 2008/04/22 12:16

>「0.3」も、「0.33」も、「0.333」も、「0.3333」も、「0.33333」も、どこまでいっても、「1/3」そのものにはならない。

その通りだが、そもそも
「0.3」も、「0.33」も、「0.333」も、「0.3333」も、「0.33333」も、
「0.333・・・」
ではない。

そもそも0.333・・・は、3が右に伸びていくものだ、と納得することが間違ってる。

[669] 心の非季 2008/04/22 17:03


[>>668 ] jiro さん

「0.333…3」のことを言ってるんですよ。

[670] 心の非季 2008/04/22 17:05


 > そもそも0.333・・・は、3が右に伸びていくものだ、と納得することが間違ってる。

そのとおりだと思います。

[671] 心の非季 2008/04/22 17:17


 ┃ 「…」に関して云えば
 ┃
 ┃   ・ 任意の自然数に対応した桁の位置がある。
 ┃   ・ 逆に、どの自然数にも対応しない桁はない。
 ┃
 ┃   ・ そして「333・・・」という場合、どの桁の数字も3である。

実は、これ↑が興味深かったんだけど・・・・・。

「0.333…3」のほうの「…」に関して云うと、どうなります?
良かったら教えてください。

[672] 心の非季 2008/04/22 17:28


 ┃ 「…」に関して云えば
 ┃
 ┃   ・ 任意の自然数に対応した桁の位置がある。
 ┃   ・ 逆に、どの自然数にも対応しない桁はない。
 ┃
 ┃   ・ そして「333・・・」という場合、どの桁の数字も3である。

これ↑が十分な説明で、それでも納得できない馬鹿な僕が居る、とした場合でも、

この↓命題が偽に変わることはない。

 ┃ 説明が不十分であれば納得できない
 ┃
 ┃ 対偶をとると
 ┃
 ┃ 納得できる時は説明が十分である時だ

[673] ω 2008/04/22 19:36

説明が(彼にとって)不十分であれば(彼は)納得できない
 ↓対偶をとると
(彼が)納得できるのは説明が(彼にとって)十分である時だ

あたりまえの話で、何ら尊大ではない。
「彼にとって十分」というのが、世間的にどうであるかは
また別の話だが。

[674] 心の非季 2008/04/22 21:05


[>>673 ] ω さん

ん?
僕に対しての反論?
それとも、同意?

尊大なのは、これ↓を真だと主張した時ですよ。

 ┃ 納得できない時は説明が不十分である時だ
 ┃
 ┃ 対偶をとると
 ┃
 ┃ 説明が十分であれば納得できる

[675] 心の非季 2008/04/22 21:14


俺様は説明さえ十分にされてれば、必ず理解できる男なんだよ。
だから、
俺様が理解できないってことは、説明が十分にされてねえってことなんだよ。

これが尊大な命題ね。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

 > 「彼にとって十分」というのが、世間的にどうであるかは
 > また別の話だが。

「誰彼にとって」という意味ではありません。

[676] 心の非季 2008/04/22 21:41


「1/3」の尊大な命題

♪  壊れるほど愛しても  三分の一も伝わらない

    尊大な命題は空回り

    I love you さえ言えないでいる my heart

[677] ω 2008/04/22 22:06

説明が(世間的に十分なものであっても、彼にとっては)不十分であれば、(彼は)納得できない。

自明。というか、「(彼にとって)不十分」の定義そのもの。

[678] 心の非季 2008/04/22 22:14


だから、あの命題は、「世間的に十分なもの」と読むべきでしょ!?

ってことなんだけど・・・・。

[679] 心の非季 2008/04/22 22:22


説明が彼にとって不十分であれば、彼は納得できない。

これに関しては逆も真(同値)。

彼が納得できないのであれば、説明が彼にとって不十分。

同値なのだから、そりゃあ、自明にきまってる。
自明中の自明。

[680] ω 2008/04/22 22:24

「私にとって不十分ならば、誰にとっても不十分。」と言うならば、
なるほど傲慢に違いない。

[681] 心の非季 2008/04/22 22:45


 > 「私にとって不十分ならば、誰にとっても不十分。」と言うならば、
 > なるほど傲慢に違いない。

そのとおりでしょうね。
でも、それは新しく出てきた命題ですよね。
レスじゃなくて独り言ですか?

[682] 心の非季 2008/04/22 22:47


と、この辺でまた新たな横槍が入ってきそうな予感。

[683] ω 2008/04/23 02:06

>>678
>だから、あの命題は、「世間的に十分なもの」と読むべきでしょ!?

と言うなら、「新しく出てきた命題」ではなく、最初から
そういう意味だったということだ。

[684] 心の非季 2008/04/23 06:54


ちょっと待てよ。

「私が納得できない」のと、「説明が私にとって不十分」が同値なわけだから、
「私が納得できない」のであれば、「説明が誰にとっても不十分」
ってのは、
「説明が私にとって不十分」ならば、「説明が誰にとっても不十分」
と置き代えることが出来るのか〜。

そっか、そっか、これは失礼しました。
僕の理解力が不十分でした。

[685] 心の非季 2008/04/23 07:08


 > と言うなら、「新しく出てきた命題」ではなく、最初からそういう意味だったということだ。

最初ってのは、いつのことを言っているのですか。 これ↓のことですか?

 ┃ 心の不季 「いや、だから、君はいま納得できないといったよね?
 ┃         それって“オレが納得できないから正しくない”って
 ┃         主張だよね。これって対偶をとると
 ┃         “正しいことなら必ずオレ様が納得できる”
 ┃         ってことだよね。
 ┃         これってずいぶん尊大な物言いだと思うけど、どうよ」

これ↑だと確かに尊大です。

しかし、僕の態度はむしろ、こっち↓なんです。

 ┃ 説明が一般的に不十分であれば、僕は納得できない
 ┃
 ┃ 対偶をとると
 ┃
 ┃ 僕が納得できる時は、説明が一般的に十分である時だ

この場合、

説明が一般的に十分である時でも、僕が納得できない時はあるでしょう。

と、謙虚なのです。

[686] jiro 2008/04/23 11:13

>>669
>「0.333…3」のことを言ってるんですよ。
>>671
>「0.333…3」のほうの「…」に関して云うと、どうなります?

そもそも、小数点以下の桁の位置が、
自然数で表されるものしかない、とし
なおかつ、数学的帰納法を認めるならば
「0.333…3」は「有限個の3の並び」でしかない。

つまり無限に並ぶなら、右端の3は存在し得ない。
なぜなら、そのようなものがあるとしたならば、
その右に3を書くことが可能であり、それゆえ
それが右端であることが否定されるからだ。

[687] jiro 2008/04/23 11:21

>>668
>> そもそも0.333・・・は、3が右に伸びていくものだ、
>>と納得することが間違ってる。
>>670
>そのとおりだと思います。

心の非季氏が、私の言葉を
「0.333・・・に、右端の3が存在しない、
 と納得することが間違ってる」
と理解した上で、そのとおりだといったなら、
それは全くの読み間違いだ。

私が668で述べたのは
「0.333・・・を、”右端の3が右に動き続けるものだ”
 と納得することが間違ってる」
ということ。

そもそも「右端が必ずあるはず」という決め付けが間違ってる。
自然数の定義は、小数における右端の桁の存在を否定する。

[688] jiro 2008/04/23 11:23

>説明が一般的に十分である時でも、
>僕が納得できない時はあるでしょう。

それは
「ボクはどんな説明でも納得できないワカランチンです」
という傲慢な開き直りだがw

[689] み学 2008/04/23 20:30

時間は永遠に続くでしょうか?
0.33・・・は永遠でしょうか?
どちらも同じ答えでしょう。

[690] 心の非季 2008/04/23 22:41



 > 「0.333…3」は「有限個の3の並び」でしかない。

そうですね。
食べ放題でも制限時間があれば、ある有限の量しか食べられませんね。

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

 「そもそも0.333・・・は、3が右に伸びていくものだ、と納得することが間違ってる。」

うん、そのとおり。 うん、間違ってる。

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

 「0.333・・・に、右端の3がある、と納得することが間違ってる。」

うん、そのとおり。 うん、間違ってる。

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

 そもそも「右端が必ずあるはず」という決め付けが間違ってる。

うん、そのとおり。 うん、間違ってる。

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

 > それは
 > 「ボクはどんな説明でも納得できないワカランチンです」
 > という傲慢な開き直りだがw

そうかもね ^ ^ 。

[691] 心の非季 2008/04/24 01:36


♪ 永遠てゆう言葉なんて知らなかったよね

[692] ω 2008/04/24 09:13

>「そもそも0.333・・・は、3が右に伸びていくものだ、と納得することが間違ってる。」
>うん、そのとおり。 うん、間違ってる。

ここがダウト。他の3つはok。
納得できるように定義を整える…または、整えようとすることが数学だ。

>♪ 永遠てゆう言葉なんて知らなかったよね

ありきの話では、数学にならない。
哲学板へ帰ったら?

[693] 心の非季 2008/04/24 11:29


[>>692 ] ω さん

「0.333・・・は、3が右に伸びていくものだ」というような動的なイメージにならないように定義しなければならない。
ってことで宜しいでしょうか?

♪ 線路はつづくよ  どこまでも

[694] jiro 2008/04/24 12:19

>>693
逆じゃないだろうか?
それゆえ、ωの>>692 がダウトだと思うが。

[695] BERRY 2008/04/30 03:29

この話まだやってたんだ^^

∀ε>0,∃N∈N,s.t. n>N ⇒ | a_n - α | < ε
a_n = �[k=1〜n]0.9*0.1^(n-1) = 1 - 0.1^n
α = 1とおいて
| a_n - α | = 0.1^n < ε
εは任意だからa_nはα=1に収束.

っていうのは単なる1つの定義であって
0.999…を上のa_nの収束値だと考えるなら,紛れもなくスレタイは真

[696] すん 2008/05/10 23:27

細かすぎて数学が進まなくなるから1

[697] ユ(仮) 2008/05/25 03:03

これでおしまいのはずだよ。

〔その1〕
1/3=0.33333…
両辺に3をかけると
1=0.999999…

〔その2〕
x=0.99999…とすると  ……(1)
10x=9.99999…    ……(2)

(1)−(2)
10x−x=9
9x=9
x=1

(1)より、1=0.99999…

Q.E.D.

[698] ユ(仮) 2008/05/25 03:05

あ、その1とその2の二通り載せておいた。

[699] BERRY 2008/05/25 16:53

>>697-698
過去レスくらい読もうね

[701] ユ(仮) 2008/05/26 00:16

>>699
それは分かっても何でこんなに続いたの?

[702] み学 2008/05/29 18:32

>>697
最後の一桁がちがうので、数式は偽です。

[703] み学 2008/05/29 18:34

>>703
0.99999と9.9999を考えてみてもらえませんか?

[704] 科学部 2008/05/29 22:57

1≒0.9999999999999999999…

[705] ユ(仮) 2008/05/30 04:33

>>702

"最後の一桁"なんて無いっての。

[706] メシスト 2008/06/01 13:35

最後の一桁についてkwsk

[708] ユ(仮) 2008/06/02 17:01

無限に"終わり"、"限り"、"終着点"、"末尾"、"限界"というものはない。
見つけたと思ったら、その先を見落としている。

あとはそれを認めて受け入れられるかどうか。

[709] 2008/06/09 01:15

簡単に言えば、
『0.999…』の『9』の時点で『1』じゃないと思う。

もしくは、

『1÷3=0.333・・・』で『0.333・・・×3=0.999・・・』
だから、『1=0.999・・・』

俺の考えだけどね。

[710] 心の非季 2008/06/09 12:34


1 - 0.99… = 0.00…

ってのは、既出?

[711] 2008/06/14 21:04

なぜこのスレで※700も伸びる?

a=o.999…とおくと,
10a-a=(9.999…)-(0.999…)
9a=9
a=1
∴1=0.999…


1/3=0.333…
3*(1/3)=3*0.333…
∴1=0.999…

[712] シエラレオネ 2008/06/15 06:30

0.999…とどこまでも続こうと繰り上がる原因はない
よって1≠0.999…  //

[713] acme 2008/06/29 00:15

1−10の無限power分の1=0.999999...

[714] ω 2008/06/30 02:35

>どこまでも続こうと繰り上がる原因はない

それは、「アキレスは亀に追いつかない」と言っているのと同じだ。
0.999… は、アレフゼロ桁目から繰り上がって、1 となる。

[715] 田中太郎 2008/07/01 01:30

>>714

フレアゼロとは集合論のあれですか?

[716] 2008/07/01 08:38

0.99999……という数字がはっきりしていないので はっきりした答えは出せないと思いますが…;

[717] ノネム 2008/07/02 08:00

0.999・・・=0.9+0.09+0.009+・・・
初項a=0.9,公比r=0.1の無限等比級数なので、和をSnとすると、
Sn=0.9/(1−0.1)=1
よって、1=0.999・・・
証明これじゃダメなんすか?

[718] 心の非季 2008/07/07 23:56


142857 × 7 = 999999

1 / 7 = 0.142857…

0.999999 / 7 = 0.142857

0.999999… / 7 = 0.142857…

[719] 心の非季 2008/07/08 09:53


1 × 9 = 9
1 / 9 = 0.1…

0.9 / 9 = 0.1
0.9… / 9 = 0.1…

━━━━━━━

3 × 3 = 9
1 / 3 = 0.3…

0.9 / 3 = 0.3
0.9… / 3 = 0.3…

[720] kazuxp32 2008/07/08 16:00

等しい

[721] 野次馬そのN(N≧1) 2008/07/08 23:34

>>712
>繰り上がる要因
が、無いというのは、特定の桁0.9999(中略)9の下の0.0000(中略)0999……が、
0.0000(中略)1未満(以下、ではなく)である事を前提としなければならないのですが、
それを前提とするには、0.999…<1(つまり0.999…≠1)である事を証明しなければなりません。
ですので、その論法は証明としては不適切です。

[722] 2008/07/12 21:30

0.999・・・をXとして
10X=9.999・・・・・
10X-X=9X
9X=9
X=1

[723] ddd 2008/07/18 21:58

等しくないっていってるやつはなんなの?ばかなの?

[724] 某メシスト 2008/07/20 20:20

あれでしょ?
バカとかそういうのじゃなくて
1は一の位が1だけど0.999999・・・・・は一の位が0
そこが根本的に違うから等しくないっていう錯覚があるのでは・・・?

[725] emu 2008/07/20 22:47

722

10X-X=0
9X=0
X=0

になると思いますが、なぜ、移行後の「0」を打ち消したのでしょう?

[726] emu 2008/07/20 23:06

または、10X=9.999……の右辺は、0.9999……の「×10」としたとしても、10X−X〜との変化、つまり9.999……−0.9999……=9の変化は9X=9を導き出せない。

9進法の9に対応する数値「0」を陰陽の対照に置けない可逆数0.9999……は使うべきでない。または、「収束」数0.9・は1/3×3など分数置き換えによる循環小数ゆえに、1/10=10/100と同じ使用禁止数とすべきである。

[727] ユ(仮) 2008/07/20 23:34

>>725
移項なんかしてないよ。

[728] 2008/07/21 21:04

0.999…
=0.9+0.09+0.009+…
=0.9/(1-0.1)
=1

[729] 2008/07/22 07:18

このくそすれまだ続いてんの?theはdat落ちがないから・・・(ry

[730] あえ 2008/07/29 01:46

等しくないとかいうやつは
0.999…<x<1
となる実数xを言いなさい

[731] 某メシスト 2008/07/29 07:16

でもそれは
3<x<4
等しくないというならば、これを満たす自然数を答えよ

と言ってるようなもので、証明には成ってない気がするのですが・・・
間違ってたらすみません><

個人的に
1/3と方程式のやり方しか知らないから、何も言えないです・・・;;;

[732] emu 2008/07/29 09:46

>>730
逆に等しくなる、というやつは
0.999…と記述の先に…9が0になる瞬間(1.000…になる瞬間)を言いなさい、と言いたくなるよ

[733] 野次馬そのN(N≧1) 2008/07/29 13:02

瞬間もなにも、恒等的に0.999…=1ですから、何所で切ってもその先は繰り上がりますが。
強いて言えば…を循環小数を示す記号と定義した瞬間。ですね。

[734] 某メシスト 2008/07/29 13:04

何回も出たけど・・・

x=0.999999・・・
を�とする

10x=9.99999・・・
を�とする

�-�
循環小数の性質により無限に続くので整数部分だけ残るから
9x=9

よって
x=1

�で
x=0.999999・・・
と決めたので
1=0.999999・・・
が成り立つ

[735] 心の非季 2008/07/29 18:10


■ イプシロン-デルタ論法    出典 : フリー百科事典 『ウィキペディア(Wikipedia)』

ε-δ論法(イプシロンデルタろんぽう、またはエプシロンデルタろんぽう)とは、
解析学において、無限小や無限大を用いず、有限な大きさの実数を値にとる変数 ε や δ などを用いて極限を扱う方法である。

[ 歴史的背景 ]

ニュートンとライプニッツによって創設された微分積分学は、
その根底において無限小(どんな正の数よりも小さな正の数)や無限大(どんな数よりも大きな数)といった
実数の範囲では定義できない概念を使っており、
この状況は18世紀に入ってオイラーらによって微分積分学が大きな発展を遂げるようになっても改善されなかった。
級数の発散や収束に関する議論には無頓着なままで理論を発展させていったため、
誤った結論に導かれてしまうことがしばしばあった。
19世紀に入ってコーシーやボルツァーノらによって微分積分学をしっかりとした基盤の上に再構築しようとする試みがなされ、
収束や連続はよりはっきりと捉えられるようになったが、
しかし連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。
コーシーは関数の連続性を無限小を使って定義したが、
無限小概念でうまくいかない場合には、『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique)におけるように、
ε-δ論法の形で不等式を使って基礎づけを行うこともあった。
ε-δ論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、
これによって無限小や無限大という概念を一切出さずに収束・連続を議論できるようになった。

なお、ライプニッツ流の無限小・無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化されている。
これに関連する事柄は、
超準解析(Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる)という分野で研究されている。

[736] 心の非季 2008/08/06 04:21


独り言ですので無視してください。

━━━━━━━━

倍速液晶の記事を読んでたんだけど・・・・・、
「毎秒60フレーム(正確にはには毎秒59.94フレーム)」ってのがあったんだけど・・・・、
電卓で計算してみたんだけど・・・・・、

1÷59.94=0.01668335
0.01668335×59.94=0.999999999

「0.01668335」は、正確には、「0.01668335001668335001668335…」
という循環小数ですね。

━━━━━━━━

メモ

0.0166833500
0.9999999990
0.0000000000166833500
0.0000000009999999990

[737] まなぶ 2008/10/25 01:03


1≠0.99999999…

[738] nanashi 2008/12/23 22:27

x=0.9999999999・・・
10x=9.999999999・・・
(10x-x=)9x=9
x=1
とあるが
---------------------
10x-xをした時点で
9x=8.99・・・1
とならない
理由
→10xの小数点以下=xの小数点以下だから
---------------------
でもこれって小数点以下のほうの繰り上がりは認めず
実数部のほうは繰り上がりを認めてますよね?

「繰り上がり」を統一化すると
[1]小数点以下の繰り上がりを認める
(10x-x=)9x=8.99・・・1
x≠1
[2]実数部の繰り上がりを認めない
10xは存在できないので不適

とならないのでしょうか?
もちろんこれがx≠1の証明にはなりませんが・・・

[739] 野次馬そのN(N≧1) 2008/12/24 13:00

えーと、そもそも「実数部」と言った場合には、
循環小数0.999…は一つの「実数」ですよ。
で、繰り上がりですが、小数点以下でも繰り上がってますよ?
どの桁においても下の桁から繰り上がるから等しくなるだけの話で。

[740] Katz 2008/12/27 22:01

>>738
> 9x=8.99・・・1

右辺の、「最後」の「1」はどこから出てきた数でしょうか?

> x=0.9999999999・・・
> 10x=9.999999999・・・

いずれも「最後」の桁はありません。従って「1」が出てくるべき桁はありません。

[741] あか 2008/12/29 21:53

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[742] あか 2008/12/29 21:54

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[743] あか 2008/12/29 21:54

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[744] あか 2008/12/29 21:55

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[745] あか 2008/12/29 21:55

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[746] あか 2008/12/29 21:55

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[747] 野次馬そのN(N≧1) 2009/01/08 14:06

なにやら6連投なさってますが……ダウト。
循環小数の0.999999999……と、
0.999999999が別の数で在るように、
1と0.999999999も別の数です。

[748] 科学部なりける者 2009/01/17 22:05

1/3=0.33333…としたとしても1/3は割りきれない数なので無限に333…としようとも多少の誤差は生じる
よって
この方法で両辺に3をかけて証明するということは不可能
また
1/9=0.111111から導き出すのも同じ理由で不可能

10x=9
- x=0.9
-------
9x=8.1
∴x=0.9

10x=9.9
- x=0.99
--------
9x=8.91
∴x=0.99

10x=9.99
- x=0.999
---------
9x=8.991
∴x=0.999

桁数を増やしても繰り下がりはきちんと行われる
よって桁を無限大にしたところで繰り下がらないという根拠はまず得られない
したがって0.9999999999≒1は成り立つが完全にイコールが成り立つとはいいきれない

[749] メシスト 2009/01/18 15:30

あなたははっきりと言いました。
「誤差が生じる」
って

何故繰り上がるってとこだけ誤差は生じないのか

[750] メシスト 2009/01/18 15:36

ミスタ

繰り下がる



しかもあなたがやってるのは有限であり、無限でない。

よって繰り下がるという根拠も得られない。

無限に続くんだから
x=9 では?

あなたは何桁目で繰り下がりが生じると御思いで?

ちなみに有限と無限をゴッチャにする考え方そもそもが間違っているのでは?

[751] ふぁみあ肉球 2012/12/09 17:34 oB/pPAPVxZx

10進法で小数を表すときの表記上の問題だと思うの。

1÷1=

この式を考えたときに、もし一の位で割りきれば

1

になるし、
もし一の位で割りきらなければ

0.99999999……

になってしまうという

[752] プル脳 2012/12/15 15:16 wx/qZCJv1Gw

>>748
低脳過ぎて話にならない。

メシストは正しい。

[753] rtakeda 2013/04/15 00:13 zs/Zz72qfWX

0.999999‥‥
が無限小数を意味しているなのなら、それは無限級数が収束して和をもち、その和が1であるという意味で
1=0.999999‥‥
は正しい。言い換えれば、無限数列の極限値が1であるという意味で正しい。

0.999999‥‥
が有限小数を意味しているのならば、
1=0.999999‥‥
は、正しくない。なぜなら、nを自然数として、右辺は有限小数であるから、9がn桁並んでいるとすると、等比数列の和の公式から

右辺=(0.9){1-(0.1)^n}/(1-(0.1)}=1-(0.1)^n

であり、どんなnに対しても、右辺は常に、1
よりも (0.1)^nの分だけ小さいからである。

翻って、
0.999999‥‥
の‥‥の意味を、曖昧にして出題した
出題者の姿勢が問われる問題である。

[754] プル脳 2013/05/02 18:08 lk/Cp9T0515

0.999…
が無限小数で、1に等しくないと言う者は低脳。

[755] K5 2013/05/02 20:01 po/vRqAUj1o

いいね、こういうの好きだわw
でもほとんどの書き込みは中学生~高校生くらいかな?

以下、私の考えです。
ご意見、質問、大歓迎です。

まず本題の前に…
出題者が0.999……としか書いていないので、数学的には小数点以下9が続く無限小数(もしくは級数)を意味すると考えるのが普通です。
そもそも有限小数なら1に等しいわけがなく、議論になりません(>>753の方が述べている通りです)。

で、本題。
0.999……は、
9Σ[n=1→∞](0.1)^n
と表せますので、
0.999…… = 1となります。
しかしこの場合の" = "は「等しい」という意味ではなく「収束する」あるいは「極限値」という意味になりますので、出題者の問い、「1と0.999……は等しいのか?」に対する答えは「否」です。

[756] K5 2013/05/02 20:12 po/vRqAUj1o

追記。
既に寄せられているコメントを見ていると、
1 = 0.999……
と述べている方がいますが、
>>755に書いた通り
0.999…… = 1であって、その逆は成り立ちません。
(「等しい」という意味で"="を使っていないためです。)

[757] BRK 2013/05/03 17:46 zF/ft3ADWDF

>>756
>0.999…… = 1であって、その逆は成り立ちません。
そんな等号は無い。

[758] じゃが 2013/05/03 20:19 7y/D4ls5qDS

>>755
極限とか収束を意味するなら「=」ではなくて「→」では?
「=」を使うことももちろんありますが…

>>757
K5さんが書いてる通り、その式中の「=」は等号ではないんですよ^^;
ですので、逆は成り立たないという考えは正しいと思います。
級数を習うのは大学かな?

[759] death 2013/05/03 20:24 fX/e0AhDT5p

みんな頭いいねー
そんなに年とってんだねー
人生の苦労が垣間見れるよーww

[760] rtakeda 2013/05/27 06:14 zs/fqlsZQuj

結局
1=0.9999‥‥‥‥‥‥‥
の=の意味をどう定義するかということ
ですね。

[761] 心の非季 2013/08/02 14:59 dW/2nG89AnE

ザビビ、復活してたんですね。
懐かしいなー。

────────────────

有限小数の限界って何処なんでしょう。
限界は無いですよね!?
無限ですよね!?

1/3=0.333・・・。
無限に書いて行っても、無限にはたどり着けない!?

山手線の距離は無限。
しかし、未来永劫(無限に走っても)、無限の距離には到達できない!?

[762] ウンコくん 2013/08/12 00:49 kU/I61tgnO6

1-0.1^m {m→∞}
ということですから、
0.1^m{m→∞}は限りなく何に近づいていくか、
その近づいていく数こそが極限値です。
ちなみに0に限りなく近づいていくので
0.1^∞は0となります。
よって0.9999999999999999999999999999・・・
=1ですね。

[763] 空気を読まない 2013/08/23 18:59 lB/8VgU1GcJ

不可説不可説不可説転

[764] 猫#masuda 2013/08/25 23:28 YP/tB3YbQ55

僕も一時期、大きい数字にはまりましたね。
不可説不可説転をそこらじゅうの知り合いに話した。

[765] コーク 2013/10/09 03:29 KY/DJQH8Uhe

等しいと思うよ

[766] コーク 2013/10/09 04:08 KY/DJQH8Uhe

おもしろい事思いついたんですが
重力がある、無限に広がる平らな空間が存在する。玉を投げたとき、球の通った場所は色がついて、玉の軌跡は一目で分かるとする。
ここで、地面と平行な角度で玉を投げると、重力によって玉は落ちる。
しかし、もしもし無限の速さで玉を投げた場合どうなるか。投げた瞬間に球は無限の空間を一直線に、無限の長さの軌跡を描くはず。しかし、投げた場所から後ろへは軌跡は描かれない、無限の空間の直径より玉の軌跡は短いため、無限の長さと矛盾する。
つまり・・・・玉を投げた瞬間に逆方向へと軌跡も伸びれば矛盾は解消される。
もしかしたら、玉は無限に広がる平らな空間を一周してスタート地点に戻ってきたのかもしれない・・・・ということは
無限はループしているのかもしれない・・・・
なんて事考えたんですがどうですか?
まあ文系なので高校の数学まで知りませんが。

[767] SSS 2013/10/17 01:50 Nh/tFpyV8vK

>>766
無限大、或いは無限小というのは、その中に於いて大小があって、ある無限大より大きな無限大とかより小さな無限大というものが存在してよい。

[768] ヤンガス 2013/10/18 20:25 0W/7LCSH5Vg

全く等しい。寸分違わず等しい。等しくないと主張する人は差を説明してください。

[769] じゃが 2013/10/18 20:42 CN/giX4SGeq

このスレまだ議論続いてたんだ(笑)

[770] 心の非季 2013/11/16 16:23 7l/2nG89AnE

ゼノンのパラドックス - Wikipedia

〔哲学的な観点から〕

哲学的には、数学的な前提に立った場合のように、このパラドックスは「間違っている」とは見なされない。
極限や収束をどう理解するかと、特に「仮に有限を無限の回数の加算の結果と『見なしうる』ということから、
現にそうした無限個の『加算されたもの』から『構成されている』と言っていいかどうか」が、このパラドックスでは問題になる。

・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・

無限大と同様、元々はきちんと定義されていない直感的な概念で、いろいろ誤った推論を導いたため、
一旦はイプシロン-デルタ論法によって追放された。
だが、超準解析において、無限小・無限大とも厳密に数学的に定義・定式化されている。

つまり、アキレスと亀の「哲学的な」解釈においても、数学的根拠のある無限小の概念によって、矛盾は克服できる。

・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・

ちなみに、物理学においては長らく量子力学と一般相対性理論の矛盾が問題となっていた。
無限大の確率などの数学的矛盾が出てくるのだが、その根本原因は電子などの大きさを0として扱うモデルにあったことがわかっている。
大きさ0ではなくて、一定の長さのひもからできていることを基本発想とした超ひも理論が、量子力学と一般相対性理論の矛盾を克服し、
自然界の4つの力(強い力・電磁気力・弱い力・重力)を統合する最有力候補となっていることは参考になるだろう。

[771] 心の非季 2013/11/19 07:46 7l/2nG89AnE

超準解析 - Wikipedia

 【諸概念】

  [無限に近い]

   キースラー著 「無限小解析の基礎」 の定義によれば、超実数 x, y に対し x − y が無限小超実数のとき、x と y とは互いに無限に近いといい、
   x 「\approx」 y とかく。

     ※ 「\approx」は、「~」2つを並列にした形

[772] 似非右翼オビツ 2019/06/21 08:36 z8/NwsqsLlA

舟橋市 中山

[773] おまんこ九十九世 2019/06/21 22:13 ザ-000,024,170号

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●不合格●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
これを見た人は確実に【不合格】です。これをコピペでどこかに10000回貼れば回避できます。
これは本当です。やらないと100年無駄になります.

私も最初は嘘だと思ったんですが、一応コピペしました。それでセンター私大に合格出来ました。
けどコピペしなかった友達がA判定とっていたのに、おちたんです。(慶応合格h.sさん)

俺はもうE判定で記念受験だったんだけど、コピペを10回くらいした途端に過去問が
スラスラ解けるようになって、なんと念願の早稲田に受かりました。(早稲田3学部合格r.kくん)

これを今年のセンター前に見てシカトしたら、センターミスって最悪です。(n.aさん)

コピペをしてから痔が治りました。(早稲田大学教授A氏)

信じられますか?この威力。

d26.GkanagawaFL5.vectant.ne.jp (;´Д`)

[774] 名も無きザビラー@ザ掲示板 2019/06/22 08:51 8h/hteyFMFL

 おかげさまです。感謝してます。

[775] タンチョウ 2020/01/28 16:53 W5/upc2Wj9R

0と無限小は完全に区別されねばならない。

[776] エセ右翼 ヤフオクオビツ 2020/01/28 18:37 yo/yQU0V8qj

入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333
入札してねー。moonmoon333

[777] タンチョウ 2020/07/22 17:03 Gx/2daRflbX

数字は不完全です・・

[778] らんてんぷぅ 2020/07/24 18:21 ザ-000,024,967号

777

[779] 地下水 2020/07/26 14:49 Gx/NLC3NuQV

>>777
数学より、国語の方が不完全ですよ。
社会の方がもっと不完全ですよ。

でも、かけがえのない地球は一つで、死の真空の宇宙空間で隔絶されています。完全とか不完全とか関係なく、かけがえのない、一つの物で、暗黒の宇宙空間の中でオアシスの様に、生環境をつくっています。

[780] 地下水 2020/07/26 14:56 Gx/NLC3NuQV

>>777
無限小桁で0に収束する、総数の大きさには影響しない、無限小という、論理的な記号εがあっても、別にええやん。
その方が微分も積分も使えるし。
虚数iもあることやし。
その方が現実の回転や波やスピノールも特異点も表せるし。

[781] タンチョウ 2020/07/26 15:28 Gx/2daRflbX

>>780

数字だけでは表現できなくて記号で胡麻化しているのです・・

[782] 地下水 2020/07/26 15:50 Gx/NLC3NuQV

>>781
そんなこともないよ。数学は算数と違って、概念記号も扱うよ。
だいたい代数で変数xを導入するし。
関数f(x)も導入するし。

ニュートンは、無限小で、グラフの傾きが計算できる、微分や、面積の解る積分を見つけたわけです。無限小の世界にも、キチンとした数学関係がある事を見つけたのです。

1/0=∞という記号を発明したのです。
0/∞=0ですが、
1/∞=0ですが。

オイラーは、虚数の世界にも、e^iθ=cosθ+i*sinθというキチンとした回転の関係がある事を発見したのです。
そして1/0の特異点にだけ積分値が集積して、積分が楽になり、人間の指の様な、ロボットなどの多関節モーターの制御ができる事を、大発見したのです。
メクラになったオイラーは、心眼で現代世界を導きました。それは目に見えない電波の波を表す事にも、原子周りの電子の自転が、2回転で元に戻る、メビウスの帯の様な事も基本に起きている事の発見も、導いています。

[783] タンチョウ 2020/07/26 20:39 Gx/2daRflbX

>>782

1センチの糸で正三角形を作る長さを分数でしか表現できない拙さ・・

[784] 地下水 2020/07/26 22:12 Gx/NLC3NuQV

>>783
有理数を美しいと思えない人のアホさ。

[785] タンチョウ 2020/07/27 17:52 Gx/2daRflbX

>>784

無理数はもっと表現できない拙さ・・

記号や分数で胡麻化すしかないのです・・

[786] 地下水 2020/07/27 20:54 Gx/fNa8gtzd

>>785
例えば、無理数である平方根は連分数で綺麗に書けます。
無理数である有理数乗根も、多分岐数で書けます。
無理数であり超越数であるπは、楕円関数で証明された、相加相乗平均で高速に出せます。

そして一般の無理数の中にも、ルートの中の係数とする事で、カオス図形で突如として美しい自然の造形を描き出すものがあります。
ニュートン法を用いると、無理数の中にある無限桁の数値が展開されて現れて来るからなのです。

無理数の中にも無限の自然造形が潜んでいるのです。

自然数だけが自然ではありません。無限や無限小や虚数等の中にも、驚くべきキチンとした数理関係が発見されるのです。

オイラーの公式e^iθ=cosθ+i*sinθが美しいと思えない人のアホさ。

[787] 地下水 2020/07/27 22:14 Gx/fNa8gtzd

>>785
実数の 実りの解らぬ アホな人

[788] 地下水 2020/07/28 09:32 Gx/fNa8gtzd

オイラーの公式は次の証明がシンプルだな。

f(x)=e^-iθ(cosθ+i*sinθ)
f'(x)=-i*e^-iθ(cosθ+i*sinθ)+e^-iθ(-sinθ+i*cosθ)=0
f(x)=const.
f(0)=e^0(cos0+i*sin0)=1
f(x)=1=e^-iθ(cosθ+i*sinθ)
e^iθ=cosθ+i*sinθ

[789] タンチョウ 2020/07/28 16:20 PQ/2daRflbX

>>788

>実数の 実りの解らぬ アホな人

地下水さんの氷の様な実り?

[790] タンチョウ 2020/07/28 16:41 PQ/2daRflbX

言の葉は花を支える役目どす・・

言の葉は木の枝を守ります・・

言の葉は根っこと広がる工夫です・・

[ 削除依頼 ]

【コメントをお寄せ下さい。】