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1と0.999・・・・・・は等しいのか?

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[0] 数学探検隊 2007/03/24 15:43

議論よろ。

790件のコメント 1番から100番を表示中

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[1] 数学探検隊 2007/03/24 15:48

1から0.999・・・・・を引くと答えは永遠に0.000・・・・・。
1と0・999・・・・・の差が0ということは1と0.999・・・・・が等しいといえるんじゃない?

[2] Katz 2007/03/25 03:17

この議論は定期的に繰り返されるようですな。

簡単に説明するには >>1 が一番簡単ではないかと、私は思っています。
が…これで「納得」しない方は多いんですよね。
(「理解」ではなくて「納得」です)
そうなると0.999...はそもそも何を意味するかという、
非常に根源的な所を見直さないといけなくなります。

[3] BERRY 2007/03/25 03:31

いろんな条件を認めた上での初等証明を示すと…

x = 0.999……とおいて
10x = 9.999……
9x = 9
x = 1
よって、x = 0.999…… = 1

でいいはずです。一般的な公理系が前提です。
なので、突き詰めてしまうとまさに
実数の連続性とか考えなきゃいけないと思うので…

[4] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/25 04:03

四捨五入で解決してはダメですか??

[5] ヴァルフリート 2007/03/25 05:01

0.99999…9と9の個数が有限なら、>>3 の議論は当たり前ながらできないですよね。
0.999を10倍すると9.99です。9.99から0.999をひいたら
9x=8.991ですからx=1となりませんよね。
で質問なんですが何故9が無限につづくとき何の論証もなく
10x=9.99…�
x=0.99…�
として�−�を計算して9x=9としたのですか?
�−�の演算は私は直感的に
9x=8.99999999999999999999…1
である気がします。�の式は少数点以下の9の個数を仮にN個としたなら
�の式ではN+1個の9が続くと思います。
�−�の右辺が9となるなら9の個数がそろわないといけないと思います。

Nを有限の範囲でどんどん大きくしていけば、
9x=8.9999999999999999999…�となるので�−�は右辺を9と考えるより�と考える方が自然な気がします。
もし0.9999…となりまして=1ならば9x=9としていいのかもしれない気がしたり。
[考え方間違っていましたら指摘してください。]

[6] BERRY 2007/03/25 05:54

>>4
四捨五入は、「ほとんど同じ数にする」操作なので……(^_^;)

>>5
確かに論証がないので、大学レベルの数学では相手にされませんね。
ただ、循環小数の性質は認める(というか高校数学)なら>>3 は真です。

循環小数を分数にするとき、どうしますか?
0.128128128……
1000倍して同様に
0.128128128……=128/999
とする方法は、高校数学の範囲では一般的です。
ただ、これは循環小数と整数(あるいは有限の数)の乗法と減法を
(他にもあるでしょうが)認めて初めて成り立つのです。

ですから、この初等証明を証明するには、
もっと根本的な部分(公理系までいっちゃう?)からの
証明が必要だと思います。

>Nを有限の範囲でどんどん大きく
「有限」では題意に反します…
ので、「有限」が「無限」に動くということですか?
そんな数を容易に10倍したり減算したり
操作できるのでしょうか?

携帯からなんで、改行とかいろいろすみません。。

[7] 2007/03/25 09:00

>>0-1
等しくない。

そもそも数学上、「0.9999…」の意味は「1に達していない」と言う事をあらわしているのだから、等しいとする事は無理。

[8] copre 2007/03/25 09:32

>>7
賛成。lim(x-0)みたいなもんじゃないの?
1/(x-1)に0.99...は代入できるけど1は代入できない
みたいな。あくまで直感だけどね

[9] BERRY 2007/03/25 09:58

>>7-8
>数学上……あらわしているのだから
そのような定義はなかったと思います。
数学上 1=0.999…… は正しいとされています。
アルキメデス性やらなんやらを認める上でですが。

無限等比級数を使って、
 lim[n→∞]Σ[k=1からn]9/10^k
を計算してみてください。
初項9/10、公比1/10だから
 Σ[k=1からn]9/10^k
=(9/10)*(1-1/10^n)/(1-1/10)
=1-1/10^n
よって、
lim[n→∞](1-1/10^n) = 1
∵lim[n→∞]1/10^n = 0 なので。

ちょっと間違えてたらごめんなさい(^_^;)

ただし繰り返しになりますが、このような初等証明が
認められるのは高校数学までです。

[10] copre 2007/03/25 13:45

1=0.99..に意見変更w
なんかもうもう1/3×3=0.33..×3=0.99..=1が一番納得いく
証明な気が…。否定できる部分ありませんよね?上の証明。

>>7
極限値が実際の値と同値とするのはいいんですか??
あくまできわめて精度の高い近似値でしかないと思うんですが。

BERRYさんの証明だと
lim[n→∞]((0.1)^n)=0をみとめないと行けませんよね。

これだと、
(1) lim[n→∞](1/(0.1)^n)=lim[n→∞](1/0)=定義されない。
(2) lim[n→∞](1/(0.9)^n)=lim[n→∞](1/0.1)^n
=lim[n→∞]10^n=∞となり
矛盾が生じてしまいませんか?

[11] 落ち武者 2007/03/25 14:02

>>10
近似じゃなく、等しいのよこれは。
極限値を数とみなすのではなく、近づけていく一連の動き(無限数列)を数とみなすのよ。

[12] BERRY 2007/03/25 14:16

>>10
えっと…じゃ一つずつ(^_^;)

まず、copreさんの考え方だと
lim[h→0]{(3h^2+5h)/h}
もゼロ除算になって定義されなくなってしまいますね。
でも実際は
(与式)=lim[h→0](3h+5)=5
と極限値を導きます。
ちなみに、上のような場面は導関数の計算で出てきますね。

で、(1)について。
lim[n→∞]{1/(0.1)^n}を計算するのであれば、まず
 lim[n→∞](0.1^-n)
=lim[n→∞](1/10^n)
と変形します。
lim[n→∞]10^nは計算できて、極限は∞です。
だから当然、lim[n→∞](1/10^n)=0
なのです。
実際、0.1,0.001,0.0001,…,→0ですね。

(2)は何をしたいのかよく分かりませんが、変形が間違っているようですね。。

長くてごめんなさい、、
……納得していただけますか?(〃>_<)

ただ、本質として大事なのは
「この事実を整数論のレベルから考察する」
ことだと思うんです。
だって、高校数学では今まで述べたとおり結論が出ているので。

[13] 落ち武者 2007/03/25 14:21

てか、(1)(2)がよく分からん。
極限を変に覚えてる?

>>9 は、
lim[n→∞](1-1/10^n) = lim[n→∞](1)-lim[n→∞](1/10^n) = 1
の意だろ。

[14] 数学探検隊 2007/03/25 17:54

意見分かれますよね。>>1 の説明なら小学生にもわかるよ。

[15] copre 2007/03/25 20:19

(2)はlim[n→∞](1/(0.1)^n)=lim[n→∞](1/0.1)^n=lim[n→∞]10^n
の打ちミスです。修正しなくても分かるかなと思って
放置していました。

変形していけば∞にたどりつけるんだけど、
この2つの極限はいってしまえばx=1/nとおいたとき
n→∞のとき(0.1)^n=0とするのだから、
lim[x→0](1/x)と等しいのではないかということです。
とするとこれが∞という値になるのならば
n→∞のとき1/(0.1)^n=0ではなくて
n→∞のとき1/(0.1)^n=+0になるのではないかと。

[16] 風来のシレン 2007/03/25 20:23

1は1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000
であり
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
とは座標上で近いだけ。

[17] copre 2007/03/25 20:24

あ〜そうだここに来てる人…といっても
いろんな人がいるけれどどういった人たちなんでしょう。
大学の数学科に行っているひとなのか、僕と同じように
高校生なのか、数学とは関係ない社会人だけど趣味で独学して
いる人なのか・・・。みなさん知識がとても豊富そうなので。

[18] copre 2007/03/25 20:30

>>15
みすだらけだ・・・。
n→∞のとき0.1^n=0ではなくて
n→∞のとき0.1^n=+0になるのではないかと。

[19] ZERO 2007/03/25 20:39

>>7
数学上等しくないって...

高校の数3の教科書では0.9999...=1となってますよ。

[20] BERRY 2007/03/25 20:43

>>15
lim[n→∞](0.1)^nと
lim[x→0](1/x)は別ですよ。
というか、何を言いたいのかよく分からないのですが…
でも、確かに+0を通過しますが、収束するのは0です。
n→∞とはそういうものなので(^_^;)
上手く表現できませんね。。

>>16
有限小数では確かにその通りです。
ただ、いくら桁を書いたとしても、それは有限小数でしかないのです。
別の数になるのは当たり前ですね。

[21] Katz 2007/03/26 10:00

おお、久し振りに盛り上がってますな(^_^)

>>5
> Nを有限の範囲でどんどん大きくしていけば、

ここがミソですね。
Nが無限大になると N≠N+1 が崩れます。
有限と無限とは決定的に違うのです。

0.999999…
9.999999…
と桁を揃えて並べたとき、実際に桁がズレるのは具体的に何桁目でしょうか?

[22] 南溟道人 2007/03/26 13:00

>>3
10x = 9.999…… から
9x = 9 を導く根拠が不明確で、結論先取りの疑いがあると思います。
しかし
>>1 の >1から0.999・・・・・を引くと答えは永遠に0.000・・・・・。
も、
>>10 の >1/3×3=0.33..×3=0.99..=1 も
数学的に正しい証明で、なんら疑う余地はないと思います。

[23] BERRY 2007/03/26 13:49

>>22
>>3 も正しい説明ですが笑
>>3 が不明確で>>1>>10 に疑う余地がない根拠を示してください。

[24] ベイカル 2007/03/26 17:02

>>3
10x=9.9999…
 x=0.9999…
_______
9x=9
 x=1
の間違いなのでは?  

[25] BERRY 2007/03/26 17:26

>>24
筆算は省略しましたが、どこか間違ってますか?

というかこれで納得できない人は>>9
無限等比級数でも証明してますので(^_^;)

[26] はな 2007/03/26 18:00

視力が悪い人からするとイコールだな。
ほぼ同じに見えるだろうし

[27] プル脳 2007/03/26 18:50

釖は低脳。

[28] emu 2007/03/26 23:18

>>3
10x=9.999……
9x=9
は上下証明不能のような。

9x=8.999……
となって以降
x=1にならず、x=0.999……で、1=0.999……とならない。

極限値が等しいとすると、1=0.999……、0=0.000……1となり、数が0を無存在、+1以上
(小数でも可)を存在とした場合をもととする数学が崩れるから、証明不可能。乗法・除法を
使用したとしても、0からは何も生まれないのであって、加法・減法の基礎部分も同じことである。
すべての物理的考察は、そのあらゆるエネルギーの要素的性質の排除による証明はなしえない。

[29] BERRY 2007/03/27 00:07

>>28
9.999……から0.999……を引くと9でしょう。
なぜ、8.999……になるのでしょうか?

また、0.000……1のくだりがよく分からないです。
手順を示して頂けますか?

[30] ヴァルフリート 2007/03/27 04:56

私は極値計算の観点から1=0.99999…派の人間ですが
>>3 の証明に疑念を抱いてしまう派の人です。
N≠N+1が崩壊するとは?
∞+1=∞なんですか?
∞ってどう定義される概念なんですか?

[31] BERRY 2007/03/27 05:42

>>30
∞+1=∞です。
∞は数値ではないので、「有限」の常識を覆すのです、と確かこんな感じでは(^_^;)
また、0.999…の10倍は9.999…として、
引き算して小数部が消せるのも同じような感覚では?

ただ、無限循環小数の性質を疑問視するならば話は変わるでしょう。。
「かけ算はできない!!」とか…

誤解の多い証明なので、級数でいいと思います(・∀・)

[32] BERRY 2007/03/27 05:43

あ、上のは正しい定義ではなく「うろ覚え」です(>_<)

[33] Katz 2007/03/27 10:06

無限大∞の定義は、厳密にはどうするんでしょうね(^_^;)

1. あらゆる自然数よりも大きな「数」を考え、これを記号∞を用いて表す
2. 自然数との間に四則演算を定義する。その時に1.と矛盾しないように気をつける
2-1. ∞+n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少増やしてもやはり∞)
2-2. ∞−n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少減らしてもやはり∞)
2-3. ∞×n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少増やしてもやはり∞)
2-4. ∞÷n=∞(∞はどんな自然数よりも大きいのだから多少減らしてもやはり∞)

こんな感じでしょうか?
結局「無限大は自然数とは別の何かを持ってきて数っぽく定義した要素」であり
自然数ではありません。
だから自然数と同様の感覚は通用しません。
もうちょっと厳密にやるなら極限とかと絡めて定義する事になりますかね。

と言う訳で∞を素朴な感覚でいじり回すとロクな結果になりません。
最終的には
> 誤解の多い証明なので、級数でいいと思います(・∀・)
が正解かと、私も思います。
そもそも 0.999…の「意味」も級数で議論すべきですしね。

最後に一つ。私、間違いました(^_^;)
>>21
> Nが無限大になると N≠N+1 が崩れます。

「Nが無限大になると N=N+1 が崩れます。」
の、間違いでした。混乱されてしまった方、申し訳ありませんでした。

[34] Katz 2007/03/27 10:16

>>28
言いたい事はわかりますが…

> すべての物理的考察は、そのあらゆるエネルギーの要素的性質の排除による証明はなしえない。

は、ちょっと行き過ぎですね(^_^;)
数の定義は物理とは無関係に可能です。

> 0=0.000……1

この…の部分が問題です。
具体的に何桁くらいの0が続くと思いますか?
>>33 で触れた通り、∞は自然数ではないので、
厳密に考えなきゃいけない時には「無限桁の後に1が来るんだ」という主張は通りません。

言い方を変えて「限り無く0が並んだ後に1が来るんだ」としても、
「限りが無い」なら「その後」は存在しないのです。

[35] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 14:06

高校数学の教科書に書かれてる、(高校数学で扱う公理系における)
極限値の収束を定義した式ってどうなってましたっけ、αとか使う奴。
あれを使用することを認める公理系なら、確実に
0.99...(循環小数)=1となりますが。

[36] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 14:39

でも正確には0.9999...は1ではないのでは?
限りなく1ではないのですか?
1にしてもいいって言うだけで正確には。。。

[37] 2007/03/27 16:01

>>28
1=0.999……
0=0.000……1
の下りは、右項を左項に移項しただけ。1−0.999……=0、0=0.000……1だから。
このように1=0.999……の証明には、あらゆる乗法・除法・加法・減法が使われるとしても、
概念の説明に物理的法則を「無視」することが表れてしまう(1つの物質を割いても割いても
0になることはない)。ゆえにその証明は無根拠であることが証明されてしまう(逆に)。
ゆえに証明不能にて1=0.999……でない、と言える。

[38] emu 2007/03/27 16:03

>>28 ——>>>29

[39] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 16:36

>37
ふむ……しかし、逆に言えば1と0.9999...の間には、
「如何なる実数も存在し得ない」のですがその辺はどうお考えですか?

[40] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 16:52

間を調べるには足して2で割ればとりあえず一つはでてくるよね。
例えば1と2を足して3
3を2で割ると3/2
1と0.99999....を足して
1.99999999....
2で割ると1.999...../2
これは実数とはいえないかな。
だとしても1と0.99999...の間は/2をつけることで存在する。
屁理屈ですか??

[41] 2007/03/27 17:19

>>37
1-0.999... = 0.000...1
というのが、そもそもおかしい。
理由は>>34>>39 の人が述べているとおり。
もう一度、「無限に続く」の意味を考えるべし。

>>40
1.999.../2 は 1 や 0.999... と等しくないと言えればいいけど、
はたしていえるでしょうか?

[42] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 17:23

>>41 でも言われてますが、
1と1を足して2で割れば1が出ますが、
それと1.999.../2と0.999......が等しければ、
1と0.999との「間に」実数は存在しませんね。

[43] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:30

円周率=πはOK
π=3.14....と
π=3.14だと
言えるかどうかわからないけど、
π=3.14
でOKだとしている。
πは正確には3.14.....なわけであって
3.14ではない。つまり等しいとはいえない。だが同じ。
(たとえが違うかもしれないけど)

1と0.999・・・・・は等しくは無いが
0.99999....を1とみなしてよいとしているだけである。

[44] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:37

1=0.999......
しかしその背後には>>43

[45] emu 2007/03/27 17:40

>>39 逆に言えば1と0.9999...の間には、如何なる実数も存在し得ない

を表記するかぎり、その数学は証明性(物質性)に欠ける。
それにたとえ無限に定義された極限数の先の有限数(0.000……1)であっても、有限であるかぎり非存在にはならない。

[46] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:44

有限であるかぎり非存在にはならない。

ということは
1と0.99999........の間には
0.999999.......5が。。。

[47] 2007/03/27 17:46

>>43
本当は円周率は3.1415...だけど、それだと計算が大変だから
普段は、円周率に「ほぼ」等しい3.14を使っているだけです。
3.1415... = 3.14 だと主張してるわけではありません。

[48] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 17:52

>>47
ですよね
ほぼ等しいというだけで等しくない。
ですが0.99999.....も
1とみなして計算したほうがいいですよね??
どちらも同じかと思って。

[49] 2007/03/27 18:10

>>45
うーん、意味がよくわからん。
あなたは0.000...1という数字をどういう意味で使ってるんですか?
「0が無限に続いて最後に1がある数字」と思っているんでしょうか?
もしそうだとしたら、無限に続くのに最後の桁があるという
おかしなことになってしまいまうので、考え方が根本的に間違っています。
「0が有限個続いて最後に1がある数字」だと思っているなら、
0.000...1の解釈としては正しいですが、肝心の
1-0.999...=0.000...1
が成り立ちません。

[50] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:19

>>49
でしたら
1-0.999...=0.000...1
はなりたたないのであれば
1-0.999...で止めてしまえばOK。
0.000...1が存在しないようで存在する。
よって
1-0.999...=0.000...1は存在しないようで成り立つ。

[51] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:22

1.999...../2
も0.99999....5じゃなければ
1.999...../2
で止めてしまえば。
分数にしてしまえば大丈夫。

[52] 2007/03/27 18:24

>>48
0.999...を1とみなすというより、0.999...は1と同じ数です。
π≒3.14 だけど π=3.14... であるように
1≒0.999 だけど 1=0.999... なのです。

1≒0.999...ではないのでご注意を。

[53] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:28

>>52
逆でしょう。
0.999..=1
がしかし本当は
近似である。
だから1≒0.999
よって等しいとはいえない。

[54] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 18:36

結果=原因
0.999....という原因が1をもたらしていて
逆に1という原因は0.999....をもたらしてるはずがない。
だから近似であって=とは結びつかない。

[55] 2007/03/27 18:38

>>50
止めたところで、1-0.999...という数字がどういう数字なのかはっきりしないといけません。
1-0.999...= 0 ならば 1= 0.999...だし、
1-0.999...≠0 ならば 1≠0.999...なので、
1-0.999...が0なのかそうでないかがこの問題の重要なところです。

>>51
書き方が違えば、違う数字だというわけではありません。
「4/2」 と 「2」は見た目は違えど、同じ数字です。
1.999...../2が1と違う数字であると決め付けてはいけません。

[56] 2007/03/27 18:47

>>54
すいません。結果=原因というのがよくわかりません.

「0.999....という原因が1をもたらしていて
逆に1という原因は0.999....をもたらしてるはずがない。」
とはいったい?

[57] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 19:01

>>55
さきほど言った通り1と0.999...は等しくなく近似であると。
1-0.999...が0なのかそうでないかというのは0ではない。
しかし限りなく0だから0でOKとしているだけであって
でも実際はOではない。

>>56
問題の答えには原因がある。
その原因がなんらかの形で結果をもたらす。
例えば1+1=2
2は1と1を合わせたのが原因だった。

[58] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 19:08

1と1を合わせたのが原因で、結果2となったがよかったかな。

[59] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/27 19:11

>>57
それ、ただの循環論法ですね……1と0.999...が近似である「ならば」
、1-0.999...=0は近似である、というだけの。
高校までの数学で用いる公理系を前提とした上で、
>実際には0では無い。
というならば、少なくとも1≠0.999...を「前提とせずに」1-0.999...≠0を導ける事を示さなければ。

[60] 落ち武者 2007/03/27 19:13

>>57
ありゃまー。独特な人が来たもんだね。
0.999…の原因を一つ教えてあげようか。
1÷1を筆算でやる。その際、商の一の位に0をたてる。

[61] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 19:30

>>59
さきほどから気になってはいましたが
言葉では等しくなく近似だと言ってます。
数学を用いることになると等しいかと思います。

1=0.9999....は等しいとされている。
等しいとされているという言葉を付け加えることによって
1≒0.9999....といっている。

1=0.9999....(正解)

問題文は
1と0.999・・・・・・は等しいのか?

いいえ、等しくなく近似である。
1=0.9999....は等しいとされているだけである。
だから
1≒0.9999...
よって等しくない。

証明しなさいなどと問題文には書いては無い。
結果答えは間違ってはいないはず。

だからといって1=0.9999....は等しくない
ともいえない。
どちらとも言えないかどちらとも言えるが正解かな。

[62] プル脳 2007/03/27 19:39

ほちゃほちゃしてる?低脳。0点。

[63] 落ち武者 2007/03/27 19:39

>>61
寒い。

[64] emu 2007/03/27 19:45

>>39 逆に言えば1と0.9999...の間には、「如何なる実数も存在し得ない」のですが (0.9999……)

>>37  1つの物質を割いても割いても0になることはない (0.000……1)

ゆえに、逆に言えない。

[65] BERRY 2007/03/27 19:49

なんかたくさん進んでますね。
ちなみに上で誰かが言ってますが、
無限等比級数の極限計算は確か、
r < 1 で lim[n→∞]S_n = a/1-r
だったと思います。
rは公比、aは初項で、a_n = ar^(n-1)ですね。S_nは部分和。
この式を使っても、>>9 で使った式を使っても結果は同じですね。

>>61
数学的命題を数学的手法を用いて証明すれば、
それは真だと認められないのでしょうか?

確かに「証明しなさい」とは書いてないですが、
それで得た結論は「数学的命題」を「言語的観点」において
「考察した」に過ぎないと思います。
「言語的〜」とかは私の造語ですが笑

>どちらとも言えない
前提条件(公理とか)によってはそうですね。
ただ高校数学では間違いなくスレタイは真です。

[66] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:08

>>65
その言語的観点によって証明されたことは
数学的命題を証明したということが言えるのですか?

[67] BERRY 2007/03/27 20:18

>>66
その観点ではありでしょう。
ただ、今求められているのは数学的観点です。
数学的命題の真偽に対してはやはり、数学的証明が効果大だと思うのです。

2/2と526/526は全く違う形ですが、数学的にはどちらも等しく1ですね。

って回答になっているか心配ですみません。。

[68] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:30

>>67
しかし
見てきた限り数学的証明では
証明の仕方がさまざまであり場合によれば
等しくなったりそうならなかったりで
矛盾だらけで
永久に解決は不可能だと思います。

また、言語的に考察したと思っているだけで
考察とはいえてはいない。
問題文は漠然と等しいのかと聞かれているだけである。

1=0.999......これは数学的にはOKだということは承知のこと。
しかしその背後には
1と0.999・・・・・は等しくは無いが
0.99999....を1とみなしてよいとしているだけである。

[69] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:31

だめでしょうか?

[70] BERRY 2007/03/27 20:40

>>68-69
う〜ん…困っちゃうな(^_^;)
今まで「言語的〜」でこの命題を考えたことがなかったので…

等しくない、となる数学的証明ありましたっけ?初等証明の範囲で。
忘れてしまっただけかもしれませんが…

> 1とみなしてよい
それは「明確に等しくない」ことをぼかして
「=」を使えるようにするという事ですね。
ならば「≒」を使うべきです。または「≠」。
では、1/3 ≠ 0.333… ですか?

[71] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 20:50

>>70
私は一般的なことをいってるまでで
それは屁理屈に過ぎない。

[72] BERRY 2007/03/27 20:56

>>71
屁理屈?一般的?
もしかして公理を否定しますか?
そうでなければ証明を示して欲しいですね。

[73] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 21:01

>>72
おちつけ。

[74] 落ち武者 2007/03/27 21:03

おまいが言うな。

[75] BERRY 2007/03/27 21:04

>>73
どうしました?証明できないのですか?
ここに来ている人たちは、自分の理論を主張する際には証明を示していますが。

[76] 落ち武者 2007/03/27 21:06

おまいもマジレスすな。

[77] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 21:08

私は何もぼかしてる
わけではないといいたい。

[78] 落ち武者 2007/03/27 21:09

哲学板でどうぞ。

[79] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/27 21:11

>>78
確かにそうかもしれない。

[80] copre 2007/03/27 22:47

lim[n→0]h^2/h=lim[n→0]hとする際にはhはどれだけ
小さくしても0ではないという前提の上に成り立っているのに
lim[h→0]h=0とするのは矛盾してるじゃないか。
とまた掘り返して…。

ほちゃよ。
0.99..が本当は1に満たない極限だとすると
3×0.33..=0.99..<1
3×1/3=1
となり0.33..<1/3ということ?

1/3は0.33..の別表記だと認めるのに
1は0.99..の別表記だと認めないのは何で?
1≦0.99≦0.00..1は真である。

[81] emu 2007/03/27 23:20

3X0.33…=0.99…
が成り立たない。0.99…を1でない、と仮定しているのだから、0.33…=0.33…0であり、
3X1/3が1にならず、0.33…<1/3は正しいことになる。数学に定義される等式内加減乗除の
自由を証明中使用しても、それを超える定義0.00…1=実在数を仮定した場合、脆くもその
過程を覆されることになる。

[82] BERRY 2007/03/27 23:37

さっきから度々出てくるけど
0.333……1っていうような表記はどういう数を示してる?
まさか、無限桁後に1で終わる小数だなんて定義するのですか?

[83] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 00:51

>>82
>>39 の後に>>45
で有限である限り非存在にならないということを
わかってもらえるかどうかです。

[84] BERRY 2007/03/28 01:09

>>83
あぁ、なんとなく分かります。「……」は有限ですね。
少し前に「……」を無限とする考えが挙げられていたので…

[85] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 01:12

>>84
これをどのように考えますか??
私は否定できません。

[86] BERRY 2007/03/28 01:19

>>85
う〜ん(^_^;)
そういう数学体系を矛盾なく構築できればいいかと。
少なくとも、一般的な「0.999…」と「極限」の定義では矛盾するでしょうが…

[87] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/28 10:28

>>45
循環小数は、そもそも桁数が無限である事を前提とした表記だと思うのですが。
>「無限に定義された極限数の先の有限数」
の、「無限に定義された極限数」と「の先の」というのは、(少なくとも高校数学で用いる公理系では)矛盾しているのでは?
「〜の先」を設定する「端」が存在しないからこそ「無限」と定義されるわけで。
あと……もし「『直観主義論理』と『矛盾許容論理』に基づく数学」の話がしたいならば(少なくとも前者の立場である事は明白に思えますが)、
それらを明示しないまま「数学的証明では」等、数学上の普遍的な内容であるかのように言うのは好ましくないかと。
1と0.999...が一致しない公理系が存在可能である事は否定しませんが、
そのような公理系は不特定多数に対して何の前提も無しに用いられるほど、一般的な物では無いのではないでしょうか。

[88] 落ち武者 2007/03/28 10:59

>>80
?おまいは何を言っている。
lim[h→0]h=0
も、どこかでhが0と「等しくなる」という意味ではない。
lim[h→0]hに対して、0という数を対応させるルールにしてあるだけだ。

[89] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:01

>>87
数学や算数の等式の意味はなんでしょうか?

[90] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:17

>>87
別に面倒でもないし、めっちゃくちゃ難しいってこともないけど
もう少し具体的かつ簡潔に文章を作成したほうがいいと思う。
誤解を招く可能性はあるからね。スルーしてかまいませんが今後のためにと思って。

[91] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:25

疑問点
1と0.9は等しいのですか?

[92] 落ち武者 2007/03/28 11:34

1≠0.9
1≠0.99…(有限個)…9
1=0.99…

[93] 落ち武者 2007/03/28 11:35

1/3≠0.3
1/3≠0.33…3
1/3=0.33…

[94] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:38

lim[n→∞](1-1/10^n) = 1
ではこれはどういう意味でしょうか?

[95] emu 2007/03/28 11:42

0.00…1=1−0.99… ですが、極限値の「無限」性がこのような式で表された場合、無限内に
ある「有限」が1=0.99…でないことを証明すると思いますが、数学的公式や等式を使用して
それを覆すことはできますか?

[96] 落ち武者 2007/03/28 11:42

nを限りなく大きくしていくと、1-1/10^nは1に限りなく近づく。

ここで高校の講義をしろというのか。

[97] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 11:51

なるほど。

∞×3=∞
−∞×3=−∞
無限大は具体的な数字じゃないか。。。

0.999....は具体的な数字ではないかもしれないけど
掛け算や割り算は可能でしょうか?

[98] 落ち武者 2007/03/28 11:56

>>97
そうは問屋が卸さない。
n→∞のとき、3n→∞,n^2→∞
∞÷∞=?

数字ではなく、数。
実数での四則演算ができる。

[99] ほちゃほちゃしてる? 2007/03/28 12:15

四則演算が可能ですか。

1.9999.../2
というのは「可能」だけれど、
間の数が存在するためには1と0.99...
が違う数字でなければならない。
1.9999.../2
割ってみると0.999...余りlim[n→∞](1/10^n)
余りは限りなく0

あー何がいいたいのかわからなくなってきた

[100] 野次馬そのN(N≧1) 2007/03/28 12:15

>>90
忠告感謝。正確に伝える為の過不足の無い情報量って難しいですね。
詳細に書きすぎると誤読の可能性が増えるし、
簡潔にし過ぎても、解釈が食い違うと齟齬が起きますし。
>>89
等式の意味は通常は「等号の左右が代入原理を満たす同値関係にある事を示す式」といったところでしょうか。

1=0.999...が成立する公理系では、1の代わりに0.999...を用いても(或いはその逆でも)、(表記法の差はあれ)等しい結果が得られます。
1≠0.999...な公理系では、等しい結果が得られるとは限りません(得られないとも限らない)。

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