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1と0.999・・・・・・は等しいのか?

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[0] 数学探検隊 2007/03/24 15:43

議論よろ。

790件のコメント 741番から790番を表示中

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[741] あか 2008/12/29 21:53

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[742] あか 2008/12/29 21:54

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[743] あか 2008/12/29 21:54

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[744] あか 2008/12/29 21:55

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[745] あか 2008/12/29 21:55

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[746] あか 2008/12/29 21:55

結論を言うと、1=0.999999999ですね。

[747] 野次馬そのN(N≧1) 2009/01/08 14:06

なにやら6連投なさってますが……ダウト。
循環小数の0.999999999……と、
0.999999999が別の数で在るように、
1と0.999999999も別の数です。

[748] 科学部なりける者 2009/01/17 22:05

1/3=0.33333…としたとしても1/3は割りきれない数なので無限に333…としようとも多少の誤差は生じる
よって
この方法で両辺に3をかけて証明するということは不可能
また
1/9=0.111111から導き出すのも同じ理由で不可能

10x=9
- x=0.9
-------
9x=8.1
∴x=0.9

10x=9.9
- x=0.99
--------
9x=8.91
∴x=0.99

10x=9.99
- x=0.999
---------
9x=8.991
∴x=0.999

桁数を増やしても繰り下がりはきちんと行われる
よって桁を無限大にしたところで繰り下がらないという根拠はまず得られない
したがって0.9999999999≒1は成り立つが完全にイコールが成り立つとはいいきれない

[749] メシスト 2009/01/18 15:30

あなたははっきりと言いました。
「誤差が生じる」
って

何故繰り上がるってとこだけ誤差は生じないのか

[750] メシスト 2009/01/18 15:36

ミスタ

繰り下がる



しかもあなたがやってるのは有限であり、無限でない。

よって繰り下がるという根拠も得られない。

無限に続くんだから
x=9 では?

あなたは何桁目で繰り下がりが生じると御思いで?

ちなみに有限と無限をゴッチャにする考え方そもそもが間違っているのでは?

[751] ふぁみあ肉球 2012/12/09 17:34 oB/pPAPVxZx

10進法で小数を表すときの表記上の問題だと思うの。

1÷1=

この式を考えたときに、もし一の位で割りきれば

1

になるし、
もし一の位で割りきらなければ

0.99999999……

になってしまうという

[752] プル脳 2012/12/15 15:16 wx/qZCJv1Gw

>>748
低脳過ぎて話にならない。

メシストは正しい。

[753] rtakeda 2013/04/15 00:13 zs/Zz72qfWX

0.999999‥‥
が無限小数を意味しているなのなら、それは無限級数が収束して和をもち、その和が1であるという意味で
1=0.999999‥‥
は正しい。言い換えれば、無限数列の極限値が1であるという意味で正しい。

0.999999‥‥
が有限小数を意味しているのならば、
1=0.999999‥‥
は、正しくない。なぜなら、nを自然数として、右辺は有限小数であるから、9がn桁並んでいるとすると、等比数列の和の公式から

右辺=(0.9){1-(0.1)^n}/(1-(0.1)}=1-(0.1)^n

であり、どんなnに対しても、右辺は常に、1
よりも (0.1)^nの分だけ小さいからである。

翻って、
0.999999‥‥
の‥‥の意味を、曖昧にして出題した
出題者の姿勢が問われる問題である。

[754] プル脳 2013/05/02 18:08 lk/Cp9T0515

0.999…
が無限小数で、1に等しくないと言う者は低脳。

[755] K5 2013/05/02 20:01 po/vRqAUj1o

いいね、こういうの好きだわw
でもほとんどの書き込みは中学生~高校生くらいかな?

以下、私の考えです。
ご意見、質問、大歓迎です。

まず本題の前に…
出題者が0.999……としか書いていないので、数学的には小数点以下9が続く無限小数(もしくは級数)を意味すると考えるのが普通です。
そもそも有限小数なら1に等しいわけがなく、議論になりません(>>753の方が述べている通りです)。

で、本題。
0.999……は、
9Σ[n=1→∞](0.1)^n
と表せますので、
0.999…… = 1となります。
しかしこの場合の" = "は「等しい」という意味ではなく「収束する」あるいは「極限値」という意味になりますので、出題者の問い、「1と0.999……は等しいのか?」に対する答えは「否」です。

[756] K5 2013/05/02 20:12 po/vRqAUj1o

追記。
既に寄せられているコメントを見ていると、
1 = 0.999……
と述べている方がいますが、
>>755に書いた通り
0.999…… = 1であって、その逆は成り立ちません。
(「等しい」という意味で"="を使っていないためです。)

[757] BRK 2013/05/03 17:46 zF/ft3ADWDF

>>756
>0.999…… = 1であって、その逆は成り立ちません。
そんな等号は無い。

[758] じゃが 2013/05/03 20:19 7y/D4ls5qDS

>>755
極限とか収束を意味するなら「=」ではなくて「→」では?
「=」を使うことももちろんありますが…

>>757
K5さんが書いてる通り、その式中の「=」は等号ではないんですよ^^;
ですので、逆は成り立たないという考えは正しいと思います。
級数を習うのは大学かな?

[759] death 2013/05/03 20:24 fX/e0AhDT5p

みんな頭いいねー
そんなに年とってんだねー
人生の苦労が垣間見れるよーww

[760] rtakeda 2013/05/27 06:14 zs/fqlsZQuj

結局
1=0.9999‥‥‥‥‥‥‥
の=の意味をどう定義するかということ
ですね。

[761] 心の非季 2013/08/02 14:59 dW/2nG89AnE

ザビビ、復活してたんですね。
懐かしいなー。

────────────────

有限小数の限界って何処なんでしょう。
限界は無いですよね!?
無限ですよね!?

1/3=0.333・・・。
無限に書いて行っても、無限にはたどり着けない!?

山手線の距離は無限。
しかし、未来永劫(無限に走っても)、無限の距離には到達できない!?

[762] ウンコくん 2013/08/12 00:49 kU/I61tgnO6

1-0.1^m {m→∞}
ということですから、
0.1^m{m→∞}は限りなく何に近づいていくか、
その近づいていく数こそが極限値です。
ちなみに0に限りなく近づいていくので
0.1^∞は0となります。
よって0.9999999999999999999999999999・・・
=1ですね。

[763] 空気を読まない 2013/08/23 18:59 lB/8VgU1GcJ

不可説不可説不可説転

[764] 猫#masuda 2013/08/25 23:28 YP/tB3YbQ55

僕も一時期、大きい数字にはまりましたね。
不可説不可説転をそこらじゅうの知り合いに話した。

[765] コーク 2013/10/09 03:29 KY/DJQH8Uhe

等しいと思うよ

[766] コーク 2013/10/09 04:08 KY/DJQH8Uhe

おもしろい事思いついたんですが
重力がある、無限に広がる平らな空間が存在する。玉を投げたとき、球の通った場所は色がついて、玉の軌跡は一目で分かるとする。
ここで、地面と平行な角度で玉を投げると、重力によって玉は落ちる。
しかし、もしもし無限の速さで玉を投げた場合どうなるか。投げた瞬間に球は無限の空間を一直線に、無限の長さの軌跡を描くはず。しかし、投げた場所から後ろへは軌跡は描かれない、無限の空間の直径より玉の軌跡は短いため、無限の長さと矛盾する。
つまり・・・・玉を投げた瞬間に逆方向へと軌跡も伸びれば矛盾は解消される。
もしかしたら、玉は無限に広がる平らな空間を一周してスタート地点に戻ってきたのかもしれない・・・・ということは
無限はループしているのかもしれない・・・・
なんて事考えたんですがどうですか?
まあ文系なので高校の数学まで知りませんが。

[767] SSS 2013/10/17 01:50 Nh/tFpyV8vK

>>766
無限大、或いは無限小というのは、その中に於いて大小があって、ある無限大より大きな無限大とかより小さな無限大というものが存在してよい。

[768] ヤンガス 2013/10/18 20:25 0W/7LCSH5Vg

全く等しい。寸分違わず等しい。等しくないと主張する人は差を説明してください。

[769] じゃが 2013/10/18 20:42 CN/giX4SGeq

このスレまだ議論続いてたんだ(笑)

[770] 心の非季 2013/11/16 16:23 7l/2nG89AnE

ゼノンのパラドックス - Wikipedia

〔哲学的な観点から〕

哲学的には、数学的な前提に立った場合のように、このパラドックスは「間違っている」とは見なされない。
極限や収束をどう理解するかと、特に「仮に有限を無限の回数の加算の結果と『見なしうる』ということから、
現にそうした無限個の『加算されたもの』から『構成されている』と言っていいかどうか」が、このパラドックスでは問題になる。

・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・

無限大と同様、元々はきちんと定義されていない直感的な概念で、いろいろ誤った推論を導いたため、
一旦はイプシロン-デルタ論法によって追放された。
だが、超準解析において、無限小・無限大とも厳密に数学的に定義・定式化されている。

つまり、アキレスと亀の「哲学的な」解釈においても、数学的根拠のある無限小の概念によって、矛盾は克服できる。

・・・・・・・・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・・・・・・・・

ちなみに、物理学においては長らく量子力学と一般相対性理論の矛盾が問題となっていた。
無限大の確率などの数学的矛盾が出てくるのだが、その根本原因は電子などの大きさを0として扱うモデルにあったことがわかっている。
大きさ0ではなくて、一定の長さのひもからできていることを基本発想とした超ひも理論が、量子力学と一般相対性理論の矛盾を克服し、
自然界の4つの力(強い力・電磁気力・弱い力・重力)を統合する最有力候補となっていることは参考になるだろう。

[771] 心の非季 2013/11/19 07:46 7l/2nG89AnE

超準解析 - Wikipedia

 【諸概念】

  [無限に近い]

   キースラー著 「無限小解析の基礎」 の定義によれば、超実数 x, y に対し x − y が無限小超実数のとき、x と y とは互いに無限に近いといい、
   x 「\approx」 y とかく。

     ※ 「\approx」は、「~」2つを並列にした形

[772] 似非右翼オビツ 2019/06/21 08:36 z8/NwsqsLlA

舟橋市 中山

[773] おまんこ九十九世 2019/06/21 22:13 ザ-000,024,170号

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●●●●●●●●●●●●●●●●不合格●●●●●●●●●●●●●●●●●
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これを見た人は確実に【不合格】です。これをコピペでどこかに10000回貼れば回避できます。
これは本当です。やらないと100年無駄になります.

私も最初は嘘だと思ったんですが、一応コピペしました。それでセンター私大に合格出来ました。
けどコピペしなかった友達がA判定とっていたのに、おちたんです。(慶応合格h.sさん)

俺はもうE判定で記念受験だったんだけど、コピペを10回くらいした途端に過去問が
スラスラ解けるようになって、なんと念願の早稲田に受かりました。(早稲田3学部合格r.kくん)

これを今年のセンター前に見てシカトしたら、センターミスって最悪です。(n.aさん)

コピペをしてから痔が治りました。(早稲田大学教授A氏)

信じられますか?この威力。

d26.GkanagawaFL5.vectant.ne.jp (;´Д`)

[774] 名も無きザビラー@ザ掲示板 2019/06/22 08:51 8h/hteyFMFL

 おかげさまです。感謝してます。

[775] タンチョウ 2020/01/28 16:53 W5/upc2Wj9R

0と無限小は完全に区別されねばならない。

[776] エセ右翼 ヤフオクオビツ 2020/01/28 18:37 yo/yQU0V8qj

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[777] タンチョウ 2020/07/22 17:03 Gx/2daRflbX

数字は不完全です・・

[778] らんてんぷぅ 2020/07/24 18:21 ザ-000,024,967号

777

[779] 地下水 2020/07/26 14:49 Gx/NLC3NuQV

>>777
数学より、国語の方が不完全ですよ。
社会の方がもっと不完全ですよ。

でも、かけがえのない地球は一つで、死の真空の宇宙空間で隔絶されています。完全とか不完全とか関係なく、かけがえのない、一つの物で、暗黒の宇宙空間の中でオアシスの様に、生環境をつくっています。

[780] 地下水 2020/07/26 14:56 Gx/NLC3NuQV

>>777
無限小桁で0に収束する、総数の大きさには影響しない、無限小という、論理的な記号εがあっても、別にええやん。
その方が微分も積分も使えるし。
虚数iもあることやし。
その方が現実の回転や波やスピノールも特異点も表せるし。

[781] タンチョウ 2020/07/26 15:28 Gx/2daRflbX

>>780

数字だけでは表現できなくて記号で胡麻化しているのです・・

[782] 地下水 2020/07/26 15:50 Gx/NLC3NuQV

>>781
そんなこともないよ。数学は算数と違って、概念記号も扱うよ。
だいたい代数で変数xを導入するし。
関数f(x)も導入するし。

ニュートンは、無限小で、グラフの傾きが計算できる、微分や、面積の解る積分を見つけたわけです。無限小の世界にも、キチンとした数学関係がある事を見つけたのです。

1/0=∞という記号を発明したのです。
0/∞=0ですが、
1/∞=0ですが。

オイラーは、虚数の世界にも、e^iθ=cosθ+i*sinθというキチンとした回転の関係がある事を発見したのです。
そして1/0の特異点にだけ積分値が集積して、積分が楽になり、人間の指の様な、ロボットなどの多関節モーターの制御ができる事を、大発見したのです。
メクラになったオイラーは、心眼で現代世界を導きました。それは目に見えない電波の波を表す事にも、原子周りの電子の自転が、2回転で元に戻る、メビウスの帯の様な事も基本に起きている事の発見も、導いています。

[783] タンチョウ 2020/07/26 20:39 Gx/2daRflbX

>>782

1センチの糸で正三角形を作る長さを分数でしか表現できない拙さ・・

[784] 地下水 2020/07/26 22:12 Gx/NLC3NuQV

>>783
有理数を美しいと思えない人のアホさ。

[785] タンチョウ 2020/07/27 17:52 Gx/2daRflbX

>>784

無理数はもっと表現できない拙さ・・

記号や分数で胡麻化すしかないのです・・

[786] 地下水 2020/07/27 20:54 Gx/fNa8gtzd

>>785
例えば、無理数である平方根は連分数で綺麗に書けます。
無理数である有理数乗根も、多分岐数で書けます。
無理数であり超越数であるπは、楕円関数で証明された、相加相乗平均で高速に出せます。

そして一般の無理数の中にも、ルートの中の係数とする事で、カオス図形で突如として美しい自然の造形を描き出すものがあります。
ニュートン法を用いると、無理数の中にある無限桁の数値が展開されて現れて来るからなのです。

無理数の中にも無限の自然造形が潜んでいるのです。

自然数だけが自然ではありません。無限や無限小や虚数等の中にも、驚くべきキチンとした数理関係が発見されるのです。

オイラーの公式e^iθ=cosθ+i*sinθが美しいと思えない人のアホさ。

[787] 地下水 2020/07/27 22:14 Gx/fNa8gtzd

>>785
実数の 実りの解らぬ アホな人

[788] 地下水 2020/07/28 09:32 Gx/fNa8gtzd

オイラーの公式は次の証明がシンプルだな。

f(x)=e^-iθ(cosθ+i*sinθ)
f'(x)=-i*e^-iθ(cosθ+i*sinθ)+e^-iθ(-sinθ+i*cosθ)=0
f(x)=const.
f(0)=e^0(cos0+i*sin0)=1
f(x)=1=e^-iθ(cosθ+i*sinθ)
e^iθ=cosθ+i*sinθ

[789] タンチョウ 2020/07/28 16:20 PQ/2daRflbX

>>788

>実数の 実りの解らぬ アホな人

地下水さんの氷の様な実り?

[790] タンチョウ 2020/07/28 16:41 PQ/2daRflbX

言の葉は花を支える役目どす・・

言の葉は木の枝を守ります・・

言の葉は根っこと広がる工夫です・・

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