1+1=2について考えるスレです。
なぜ1+1=2なのか。
1+1=1+0+1+0=2(1+0)=2×1=2
1+1=2
1をlとおくと
l+l=2・・・a
2l=2
l=1
aに代入して、1+1=2
1+1=2
1(1+1)=2
1=2/(1+1)
1+1=aとおくと
1=2/a
a-1=2/a
a(a-1)=2
a/2×(a-1)=1
a/2=1のとき
a=2
a-1=1
a=2
よって2=2
1=1
1+1=1+1
1+1=2
�+� = �
>>1
1+1=2は、公理かどうかを考えていた時期があったのですが、
このように考えると、1+1=2は公理ではなさそうですね。
零元の存在と分配則で導けてますし…
「2」の定義は?
で,2の定義は?
普通,suc(1)=2とか,あるいは{φ,{φ}}=2とかなので,
結局「2の次は1である」は定義ですよ.
+の定義も,a+1=suc(a)が定義になっている場合がほとんどなので,
1+1=2はsuc(1)=2でかなり自明です.
と書いてから,>>6 を読んでいなかったことに気がつくという...
僕は/782ですね.8782かも.いずれにしても,>>6 と比べて何かが足りない訳ですな.
>かなり自明です
これじゃあニュアンスが全然伝わらないなー
まあどうでもいいや.
5782で/782と読めたら,ちょっとすごいですね.じゃんけん.
>>6
2の定義を考えていないと>>1 の論証から1+1=2が公理かどうかを判断するのは難しいですね。
>>7
自然数の公理からの視点で考えると、1+1=2は自明ですね。
1+1を加群でとらえると、群の公理から>>1 の論証がよさそうに思えたのですが、回りくどかったです。
>>7 ですっきりしました。
なぜ1+1=2なのか。
1+1=2を、誰にでも解るように説明出来る者はほとんどいない。口が裂けても「きまりだから」などと言ってはいけない。
だからと言って、当り前のことを当り前で済ませてはならない。
それなら、ここで私が一発ガツンと決めてみせよう。
下の●をアンコロモチと考えたまえ、
A B C
● ●● ●●●
1 2 3
仮に、まだ数の概念がないとして、上の個数に対して、それぞれA、B、Cと名前を付けたとする。
A A B A A B
●● = ●● これを●+● = ●● さらに A+A=Bと表すこと
が許されるならA+B=C,B-A=A etc.と表記できる。
上の個数に対して、それぞれ1,2,3と名前をつけたとしたら、・・・あとはお解りでしょう。
数学は定義と自然の法則より成り立っている。
単純ものほど証明は難しい。
1+1=2これほど哲学的な命題はない。
http://kenjo.ehoh.net/
数の概念がないのに個数に名前をつけるんですか?
[11]the21023さんへ 非常にgoodなご指摘です。
上の個数を状態と変えれば納得してもらいますかな。
例えば 酢飯+まぐろの刺身=鉄火丼
生野菜数種+ドレッシング=野菜サラダ
などは納得出来ませんでしょうか。
数の概念がなくとも状態に名前は付けられるはずです。
私は、ここから数の概念が生まれたと思っています。
1+1=2に対してthe21023さんの見解をお聞かせ下さい。
+がどういう操作なのかもわからなければ、=の意味するところも不明なので、あなたが何をしたいのかわかりません。
>>10
では,なぜアンコロモチは
●+● = ●●
なんですか?
結局,アンコロモチの性質を通して1+1=2を定義しているんですよ.
この例において1+1=2が成り立つのは,
「1,+,=,2などの記号がそういう性質を持っていることを仮定しているから」
で,単なる定義です.
ただし,>>12 の考え方は一見ナンセンスですが,量子力学
(に限らず,本当は物理全般)は,実は「そういうもの」だったりします.
(>>12 の例とは相当意味が違いますけど.)
ただのお遊びなんですが.
単一の元から生成される群の集合をΓとする.←集合になること(クラスにならないこと)
の証明が必要だと考えると,集合論が仮定されるような気がする.
// そもそも生成に^-1を含めるのはありなんですかねー.
// まあ,g,g^-1から生成される〜でもよいといえばよいのでしょうが.
Z∈Γであって,∀G∈Γに対して自明でない準同型が存在するものを整数とよぶ.
整数は同型を除いて一意.
これを半群にして整数を作ろうと思うと,いろいろややこしそうな予感.
// Γ'を巡回群の集合として,任意の巡回群に対し準同型が存在するZ~をとって,
// その適当なカーネルを…とかむにゃむにゃ考えていると,Γ'の(制限)直積は
// Zと同型でなくてかつ準同型を持つことに気がついてしまった.
Z_2+Z_3+Z_5+Z_7+...みたいなのに名前はついてないんでしょうか.
半群は自然数です.
非常に奥が深くて早急に結論を出すべき問題ではなさそうです。更に、勉強をして何かいい解決法が見つかりましたら、また、投稿したいと思います。
最後に、お付き合いいただきましたsunsarさん、the21023さんありがとうございます。
PS.今後ともよろしく。
・1の次の数を2と定義されている。
・aの次の数はaに1を足したものと定義されている。
・+は足すことを意味すると定義されている。
・=は等しいことを表現すると定義されている。
よって
1+1=1足す1=1の次の数=2
>>18
ちなみに,その定義が無矛盾であることって,証明できますか?
たとえば,
(i)1の次を3とする.
(ii)2の次を3とする.
(iii)1≠2である.
(iv)a≠bなら,aの次はbの次と異なる.
の四つの条件は,矛盾しています.
この例は極端ですが,将来的に矛盾が導かれないことは証明できますか?
sunsar だけ少しまとも。他は全員低脳。
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1×1+1=2=2-1+1
適当に証明してみます。
まず公理をいくつか。
1) 0 ∈ N
2) ∀x ∈ N (x' ∈ N)
3) ¬∃x (x' = 0)
4) ∀x (x ≠ 0 ⇒ ∃y ∈ N (y' = x))
5) ∀S ⊆ N [0 ∈ S ∧ (x ∈ S ⇒ x' ∈ S) ⇒ S = N]
次に足し算を定義します。ここで a, b ∈ N とします。
a + 0 = a
a + b' = (a + b)'
次に 0' = 1, 1' = 2 と定義します。すると
1 + 1
= 1 + 0'
= (1 + 0)'
= 1'
= 2
なんちゃって。
なんか公理を全然使っていないような気がするので、足し算の定義のところをもうちょっと詳しくやってみましょう。
α, β ∈ N とします。
α + β という足し算を定義します。
β = 0 の場合と β ≠ 0 の場合に分けて考えます。β = 0 の場合があることは公理 1 からわかります。
β = 0 の場合、α + β = α + 0 = α と定義します。
β ≠ 0 の場合、公理 4 から γ' = β を満たすような γ ∈ N が存在します。それを使って α + β = (α + γ)' とします。
1+1=2の証明
1個のりんごに、他の場所から別の1個のりんごを加えると、合わせて2個のりんごとなる。数学とは物理的事象を記号化したものに過ぎない。
では、1+(-1)=0は成り立つのか。
1個のりんごにマイナス1個のりんごを加えると0(無)となる。1個のりんごの存在をなくしてしまうマイナス1個のりんごとは何なのか。物理学では物質はエネルギーに変換されても無にはならない。つまりマイナス1個のりんごは存在しない。
加算は合せていくつであり、減算は数を分解してその数の相方はいくつであるかである。1を分解して1の相方は0ではない。1-1≠0である。不存在。
1個のりんごと1個のパンを足すと2個の何になるのか。物が違えば足算は成り立たない。長さに重さを足しても意味がない。1たす1が2になるのは形の変わらない同じ物を足した場合である。里芋の葉の上に降った雨の1粒を二つ足すと1粒の水滴になる。それが蒸発して水蒸気になれば無数の気体になる。
一人の忍者たすもう一人の忍者は、二人の忍者になる。この物理的事象を記号化すると
1+1=2となる。
しかし、計算している間に二人の忍者が呪文を唱えて消えてしまったら、
1+1=0となる。また、今度は分身の術でそれぞれ1万人の忍者に分身したら、
1+1=20,000となる。その上、もう一人の忍者が蛙に変身したら、
1+?_=1となる。
忍者は消えて姿が見えなくなっても無(0)になったわけではない。1万人に分身しても無(0)から忍者が突然発生したわけではない。無(0)が存在するなら無限の無(0)を考えなくてはならない。しかし、この世の物も神も有限である。だから、無(0)は存在しなし、考えなくても良い。0は物ではないから、計算の対象にはならず、数をかぞえられないから数ではない。数学は存在しない0、負の数、虚数等を定義しているから誤りである。
数学で2=1を証明しましょう。
a=bの時に
a²-b²=ab-b² が成り立つ。両辺を因数分解すると
(a+b) (a-b)=b(a-b) 両辺を(a-b)で割ると
a+b=b a=bだから
2b=b
∴2=1 2=1が証明できてしまう。
なぜ、a²-b²=ab-b²の数式が2=1となったのか。
a=b=2の値で検証しよう。
a²-b²=ab-b²
4-4=4-4となる。
(a+b)(a-b)=b(a-b) 展開するとa²+ab-ab-b²=b(a-b)
4(2-2)=2(2―2)となる。
8-8=4-4
つまり、ab-abが4-4として0の代わりに入り込んだ事が原因である。
ab-ab=0と定義している為に幽霊のように出現したのである。
だから、0の存在を認めてはならない。両辺を0で割る事を禁じているのはこの為である。
a²-b²=ab-b²の数式から2=1が証明できるの論拠
a=bの時
(a+2)(a-2)=(b+2)(a-2)が成り立つ 両辺を(a-2)で割った残り
a+2=b+2も成り立つ たとえば、a=b=2でも成り立つのである。2を
代入して4=4となる。a-2=が0であろうがなかろうが。お判りかな。
1個のりんご+1個のりんご=2個のりんごとなる。これは加算で、減算はその逆算と定義されるから
2個のりんご-1個のりんご=1個のりんごとなる。
減算は引いて残りを求めるものではなく、分解して相方は何個になるかを求める算術である。
1個りんご-1個のりんご=不定(1個のりんごはそれ以上分解できないから)これを無理やり0が存在すると仮定して
1個のりんご-0個のりんご=1個のりんごとすれば
1個のりんご-0個のりんご×∞=1個のりんごと波及して0個のりんごが無限に存在する事になる。神が有限なのだから無限など存在しない。
結論
数学は物理的事象を記号化したものであるから、物理現象を離れては成り立たない。数学は有りもしない、0、負の数、虚数等を定義しているから、誤りである。
0で割るな
1 + 1 = 10だろ
2進数なら..
だいたい計算機はNANDだけからできておる。
大抵の計算は計算機のアルゴリズムに展開できるのだから、足し算ごときは気にする事も無い。
計算機上では足し算はNANDによる全可算回路に過ぎない。
つまり証明するまでも無く、全可算回路という実体そのものなのである。
むしろNAND回路にできない数学が存在するのか、という命題を考えるべきである。
舟橋市中山